Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor buck converte 9 V em 4,5 V para uma carga de 4 Ω. Ele chaveia a 200 kHz com L = 220 µH. Encontre a corrente de pico no indutor Imax.
Vin = 9 VVo = 4,5 Vf = 200 kHzL = 220 µHR = 4 Ω
Imax = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor boost ideal converte 9 V em 18 V para uma carga de 10 Ω a 200 kHz. O capacitor de saída é de 47 µF. Encontre a ondulação pico a pico da tensão de saída ΔVo em mV.
Vin = 9 VVo = 18 Vf = 200 kHzC = 47 µFR = 10 Ω
ΔVo = mV
3.Motores CCMédia
Um motor CC consome 2 A de uma alimentação de 120 V. Sua resistência de armadura é 2 Ω e suas perdas rotacionais (atrito, ventilação e ferro) são 9 W. Encontre seu rendimento η.
V = 120 VIa = 2 ARa = 2 ΩProt = 9 W
η = %
4.Motores CCDifícil
Um motor CC de excitação independente em 120 V (Ra = 2 Ω) gira a 900 rpm com uma corrente de armadura de 4 A. A carga muda e a corrente passa a 6 A, com o campo inalterado. Encontre a nova velocidade n2.
V = 120 VRa = 2 Ωn1 = 900 rpmIa1 = 4 AIa2 = 6 A
n2 = rpm
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
Uma carga com impedância Z = 3 + j4 Ω está ligada a uma fonte monofásica de 240 V (eficaz). Encontre a potência reativa Q que ela absorve.
V = 240 VZ = 3 + j4 Ω
Q = var
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
Uma fonte de 24 V (eficaz), 1000 Hz tem impedância interna Zs = 5 + j5 Ω. A impedância de carga ZL pode ser escolhida livremente. Encontre a potência ativa máxima Pmax que pode ser entregue à carga.
Vs = 24 V (rms)f = 1000 HzZs = 5 + j5 Ω
Pmax = W
7.Potência trifásicaMédia
Um motor de indução trifásico fornece 15 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 90% e seu fator de potência é 0,84 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 415 V. Encontre a corrente de linha IL.
Pout = 15 kWη = 90%cos φ = 0,84VL = 415 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 80 kW com fator de potência 0,72 indutivo de uma alimentação de 480 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,95 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Encontre a potência reativa total QC que o banco de capacitores deve fornecer, em kvar.
P = 80 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,95VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: Imax = 1,151 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 4,5/9 = 0,5
Corrente média e ondulação
Io = 4,5/4 = 1,125 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 4,5·0,5/(220·10⁻⁶·200·10³) = 0,05114 A
Corrente de pico
Imax = 1,125 + 0,05114/2 = 1,151 A
Resposta
Imax = 1,151 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: ΔVo = 95,74 mV
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 1 − 9/18 = 0,5
Corrente na carga
Io = 18/10 = 1,8 A
Ondulação da saída
ΔVo = 1,8·0,5/(200·10³·47·10⁻⁶) = 95,74 mV
Resposta
ΔVo = 95,74 mV
3.Motores CC
Resposta: η = 92,92 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Potências
Pin = 120·2 = 240 W
Pdev = 116·2 = 232 W
Pout = 232 − 9 = 223 W
Rendimento
η = 223/240·100 = 92,92 %
Resposta
η = 92,92 %
4.Motores CC
Resposta: n2 = 867,9 rpm
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
fcem antes e depois
E1 = 120 − 4·2 = 112 V
E2 = 120 − 6·2 = 108 V
Nova velocidade
n2 = 900·108/112 = 867,9 rpm
Resposta
n2 = 867,9 rpm
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: Q = 9216 var
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Corrente
|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω
I = V/|Z| = 240/5 = 48 A
Potência reativa
Q = I²·X = 48²·4 = 9216 var
Resposta
Q = 9216 var
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: Pmax = 28,8 W
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Casamento conjugado
A reatância da carga anula a reatância da fonte, e a resistência da carga é igual à resistência da fonte.
ZL = Zs* = 5 − j5 Ω
Potência máxima
I = Vs/(2Rs) = 24/10 = 2,4 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 24²/(4·5) = 28,8 W
Resposta
Pmax = 28,8 W
7.Potência trifásica
Resposta: IL = 27,6 A
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência elétrica de entrada
Pin = Pout/η = 15/0,9 = 16,67 kW
Corrente de linha
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 16667/(√3·415·0,84) = 27,6 A
Resposta
IL = 27,6 A
8.Potência trifásica
Resposta: QC = 50,81 kvar
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.