Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
tiL​Imax​ = ?Imin​Io​DTT2T

Um conversor buck converte 12 V em 4,8 V para uma carga de 2,5 Ω. Ele chaveia a 200 kHz com L = 47 µH. Encontre a corrente de pico no indutor Imax.

Vin​ = 12 VVo​ = 4,8 Vf = 200 kHzL = 47 µHR = 2,5 Ω
Imax = A
2.Conversores CC-CCDifícil
+−24 VSL = 47 µHC = ?R+−9,6 V

Um conversor buck converte 24 V em 9,6 V a 250 kHz com L = 47 µH. Encontre a capacitância de saída C que limita a ondulação pico a pico da saída a 20 mV.

Vin​ = 24 VVo​ = 9,6 Vf = 250 kHzL = 47 µHΔVo = 20 mV
C = µF
3.Motores CCMédia
+−VRa​M+−En = 2900 rpmT = ?

Um motor CC fornece 15 kW de potência mecânica a 2900 rpm. Encontre o torque no eixo T.

P = 15 kWn = 2900 rpm
T = N·m
4.Motores CCDifícil
T (N·m)n (rpm)0,8 N·m900 rpm

Um motor CC com k = 0,4 V·s/rad e Ra = 1,5 Ω deve acionar uma carga de 0,8 N·m a 900 rpm. Encontre a tensão de armadura V de que ele precisa.

k = 0,4 V·s/radRa = 1,5 ΩT = 0,8 N·mn = 900 rpm
V = V
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
P = 27 kWQ = ?Sφ

Um motor monofásico consome 27 kW com fator de potência 0,8 indutivo de uma fonte de 230 V. Encontre a potência reativa Q que ele consome.

P = 27 kWpf = 0,8V = 230 V
Q = kvar
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
P = 45 kWQ1​S1​φ1​QC​

Uma carga monofásica consome 45 kW com fator de potência 0,6 indutivo de uma fonte de 230 V, 50 Hz. Um capacitor ligado em paralelo eleva o fator de potência para 0,9. Encontre a capacitância C necessária.

P = 45 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,9V = 230 Vf = 50 Hz
C = µF
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M37 kW, η = 94%cos φ = 0,82

Um motor de indução trifásico fornece 37 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 94% e seu fator de potência é 0,82 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 415 V. Encontre a corrente de linha IL.

Pout = 37 kWη = 94%cos φ = 0,82VL = 415 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

Uma carga trifásica equilibrada consome 250 kW com fator de potência 0,72 indutivo de uma alimentação de 480 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,9 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Δ. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.

P = 250 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: Imax = 2,073 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 4,8/12 = 0,4

Corrente média e ondulação

Io = 4,8/2,5 = 1,92 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 7,2·0,4/(47·10⁻⁶·200·10³) = 0,3064 A

Corrente de pico

Imax = 1,92 + 0,3064/2 = 2,073 A

Resposta

Imax = 2,073 A
2.Conversores CC-CC

Resposta: C = 12,26 µF

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 9,6/24 = 0,4

Ondulação de corrente no indutor

ΔIL = (24 − 9,6)·0,4/(47·10⁻⁶·250·10³) = 0,4902 A

Capacitância

C = 0,4902/(8·250·10³·20·10⁻³) = 12,26 µF

Resposta

C = 12,26 µF
3.Motores CC

Resposta: T = 49,39 N·m

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Velocidade em rad/s

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

Torque

T = P/ω = 15000/303,7 = 49,39 N·m

Resposta

T = 49,39 N·m
4.Motores CC

Resposta: V = 40,7 V

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Força contraeletromotriz

E = 0,4·94,25 = 37,7 V

Corrente de armadura

Ia = 0,8/0,4 = 2 A

Tensão de armadura

V = 37,7 + 2·1,5 = 40,7 V

Resposta

V = 40,7 V
5.Potência CA e fator de potência

Resposta: Q = 20,25 kvar

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Ângulo

φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75

Potência reativa

Q = P·tan φ = 27·0,75 = 20,25 kvar

Resposta

Q = 20,25 kvar
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: C = 2299 µF

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.

Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(53,13°) = 60 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(25,84°) = 21,79 kvar
QC = Q1 − Q2 = 38,21 kvar

Capacitância

Um capacitor ligado à fonte fornece Q = V²·ωC.

C = QC/(2πf·V²) = 38206/(2π·50·230²) = 2299 µF

Resposta

C = 2299 µF
7.Potência trifásica

Resposta: IL = 66,78 A

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Potência elétrica de entrada

Pin = Pout/η = 37/0,94 = 39,36 kW

Corrente de linha

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 39362/(√3·415·0,82) = 66,78 A

Resposta

IL = 66,78 A
8.Potência trifásica

Resposta: Cph = 460,1 µF

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 250·tan(acos 0,72) = 250·0,9639 = 241 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,9) = 250·0,4843 = 121,1 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 119,9 kvar

Capacitância por fase

Em um banco em Δ cada capacitor está ligado entre duas linhas.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 39961/(377·480²) = 460,1 µF

Resposta

Cph = 460,1 µF

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