Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor buck converte 12 V em 3 V para uma carga de 2 Ω. Ele chaveia a 25 kHz com L = 220 µH. Encontre a corrente de pico no indutor Imax.
Vin = 12 VVo = 3 Vf = 25 kHzL = 220 µHR = 2 Ω
Imax = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor buck converte 48 V em 28,8 V para uma carga de 12 Ω a 500 kHz, com L = 150 µH e C = 220 µF. Encontre a ondulação pico a pico da tensão de saída ΔVo em mV.
Um motor CC com k = 1 N·m/A e Ra = 0,25 Ω está ligado a 240 V. Encontre seu torque de travamento Tstall, o torque com velocidade zero.
V = 240 Vk = 1 N·m/ARa = 0,25 Ω
Tstall = N·m
4.Motores CCDifícil
Um chopper CC alimenta um motor (k = 0,75 V·s/rad, Ra = 1,2 Ω) a partir de um barramento CC de 220 V. A tensão média de armadura é D·220 V. Encontre a razão cíclica D que faz o motor funcionar a 900 rpm com uma carga de 6 N·m.
Duas cargas estão ligadas em paralelo a uma fonte monofásica de 240 V: uma carga de 20 kW com fator de potência 0,65 indutivo e um aquecedor de 2 kW (fator de potência unitário). Encontre a corrente total I absorvida da fonte.
Uma carga monofásica consome 11 kW com fator de potência 0,8 indutivo de uma fonte de 400 V, 50 Hz. Um capacitor de 68 µF é ligado em paralelo com a carga. Encontre o novo fator de potência cos φ visto pela fonte.
P = 11 kWpf1 = 0,8V = 400 Vf = 50 HzC = 68 µF
cos φ =
7.Potência trifásicaMédia
Um motor de indução trifásico fornece 37 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 95% e seu fator de potência é 0,82 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 400 V. Encontre a corrente de linha IL.
Pout = 37 kWη = 95%cos φ = 0,82VL = 400 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 100 kW com fator de potência 0,65 indutivo de uma alimentação de 690 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,9 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Δ. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.
P = 100 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: Imax = 1,705 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 3/12 = 0,25
Corrente média e ondulação
Io = 3/2 = 1,5 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 9·0,25/(220·10⁻⁶·25·10³) = 0,4091 A
Corrente de pico
Imax = 1,5 + 0,4091/2 = 1,705 A
Resposta
Imax = 1,705 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: ΔVo = 0,1745 mV
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 28,8/48 = 0,6
Ondulação de corrente no indutor
ΔIL = (48 − 28,8)·0,6/(150·10⁻⁶·500·10³) = 0,1536 A
Ondulação da saída
ΔVo = 0,1536/(8·500·10³·220·10⁻⁶) = 0,1745 mV
Resposta
ΔVo = 0,1745 mV
3.Motores CC
Resposta: Tstall = 960 N·m
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Corrente de travamento
Ia = V/Ra = 240/0,25 = 960 A
Torque de travamento
Tstall = 1·960 = 960 N·m
Resposta
Tstall = 960 N·m
4.Motores CC
Resposta: D = 36,49 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Tensão de armadura necessária
Va = 0,75·94,25 + 8·1,2 = 80,29 V
Ciclo de trabalho
D = 80,29/220 = 36,49 %
Resposta
D = 36,49 %
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: I = 133,8 A
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa de cada carga
Uma carga indutiva consome potência reativa (Q > 0); uma carga capacitiva a fornece (Q < 0).
Q1 = 20·tan(arccos 0,65) = 23,38 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
Totais
P = 20 + 2 = 22 kW
Q = 23,38 + 0 = 23,38 kvar
S = √(22² + 23,38²) = 32,11 kVA
Corrente total
I = S/V = 32105/240 = 133,8 A
Resposta
I = 133,8 A
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: cos φ = 0,9156
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.
Q1 = 11·tan(arccos 0,8) = 8,25 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·68·10⁻⁶ = 3418 var = 3,418 kvar
Q2 = 8,25 − 3,418 = 4,832 kvar
Nova potência aparente
S2 = √(11² + 4,832²) = 12,01 kVA
Novo fator de potência
cos φ = P/S2 = 11/12,01 = 0,9156
Resposta
cos φ = 0,9156
7.Potência trifásica
Resposta: IL = 68,56 A
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência elétrica de entrada
Pin = Pout/η = 37/0,95 = 38,95 kW
Corrente de linha
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 38947/(√3·400·0,82) = 68,56 A
Resposta
IL = 68,56 A
8.Potência trifásica
Resposta: Cph = 127,2 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,65) = 100·1,169 = 116,9 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,9) = 100·0,4843 = 48,43 kvar
Potência reativa dos capacitores
QC = Q1 − Q2 = 68,48 kvar
Capacitância por fase
Em um banco em Δ cada capacitor está ligado entre duas linhas.