Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
+−15 VLSCR = 15 Ω+−30 V

Um conversor boost ideal converte 15 V em 30 V para uma carga de 15 Ω. Encontre a corrente média no indutor IL.

Vin​ = 15 VVo​ = 30 VR = 15 Ω
IL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
tvo​Vo​ΔV = ?DTT2T

Um conversor buck converte 48 V em 14,4 V para uma carga de 2 Ω a 500 kHz, com L = 68 µH e C = 100 µF. Encontre a ondulação pico a pico da tensão de saída ΔVo em mV.

Vin​ = 48 VVo​ = 14,4 Vf = 500 kHzL = 68 µHC = 100 µF
ΔVo = mV
3.Motores CCMédia
T (N·m)n (rpm)Tst​ = ?n0​

Um motor CC com k = 2 N·m/A e Ra = 0,8 Ω está ligado a 220 V. Encontre seu torque de travamento Tstall, o torque com velocidade zero.

V = 220 Vk = 2 N·m/ARa = 0,8 Ω
Tstall = N·m
4.Motores CCDifícil
+−240 VRs​ = ?Ra​ = 0,2 ΩM+−En = 900 rpmT = 48 N·m

Um motor CC (k = 1,2 V·s/rad, Ra = 0,2 Ω) em uma alimentação fixa de 240 V aciona uma carga de 48 N·m. Encontre a resistência em série Rs que o reduz a 900 rpm.

V = 240 Vk = 1,2 V·s/radRa = 0,2 ΩT = 48 N·mn = 900 rpm
Rs = Ω
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
P = 6 kWQ = ?Sφ

Um motor monofásico consome 6 kW com fator de potência 0,7 indutivo de uma fonte de 240 V. Encontre a potência reativa Q que ele consome.

P = 6 kWpf = 0,7V = 240 V
Q = kvar
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
P1​ = 67 kWQ1​S1​φ

Um transformador monofásico de 200 kVA alimenta uma carga de 67 kW com fator de potência 0,8 indutivo. Quanta potência ativa adicional ΔP pode ser acrescentada como carga resistiva (fator de potência unitário) antes que o transformador atinja sua potência nominal em kVA?

Smax = 200 kVAP1 = 67 kWpf1 = 0,8
ΔP = kW
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 400 VNZ = 12 + j5 Ωpor fase

Uma carga equilibrada ligada em Y com impedância de 12 + j5 Ω por fase está ligada a uma alimentação trifásica equilibrada com tensão de linha de 400 V. Encontre a potência ativa total P absorvida pela carga em kW.

VL = 400 VZ = 12 + j5 Ω por fase
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

Uma carga trifásica equilibrada consome 120 kW com fator de potência 0,8 indutivo de uma alimentação de 415 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,9 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Δ. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.

P = 120 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,9VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: IL = 4 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 1 − 15/30 = 0,5

Corrente na carga

Io = 30/15 = 2 A

Corrente no indutor

IL = Io/(1 − D) = 2/0,5 = 4 A

Resposta

IL = 4 A
2.Conversores CC-CC

Resposta: ΔVo = 0,7412 mV

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 14,4/48 = 0,3

Ondulação de corrente no indutor

ΔIL = (48 − 14,4)·0,3/(68·10⁻⁶·500·10³) = 0,2965 A

Ondulação da saída

ΔVo = 0,2965/(8·500·10³·100·10⁻⁶) = 0,7412 mV

Resposta

ΔVo = 0,7412 mV
3.Motores CC

Resposta: Tstall = 550 N·m

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Corrente de travamento

Ia = V/Ra = 220/0,8 = 275 A

Torque de travamento

Tstall = 2·275 = 550 N·m

Resposta

Tstall = 550 N·m
4.Motores CC

Resposta: Rs = 2,973 Ω

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Corrente e fcem

Ia = 48/1,2 = 40 A
E = 1,2·94,25 = 113,1 V

Resistência em série

Ra + Rs = (240 − 113,1)/40 = 3,173 Ω
Rs = 2,973 Ω

Resposta

Rs = 2,973 Ω

O resistor desperdiça 4756 W; um chopper controla a velocidade com muito menos perdas.

5.Potência CA e fator de potência

Resposta: Q = 6,121 kvar

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Ângulo

φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02

Potência reativa

Q = P·tan φ = 6·1,02 = 6,121 kvar

Resposta

Q = 6,121 kvar
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: ΔP = 126,6 kW

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa da carga existente

Q1 = 67·tan(arccos 0,8) = 50,25 kvar

Maior potência ativa total

Na potência nominal S = Smax, e Q não é alterada pela carga resistiva.

P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 50,25²) = 193,6 kW

Potência ativa adicional

ΔP = 193,6 − 67 = 126,6 kW

Resposta

ΔP = 126,6 kW
7.Potência trifásica

Resposta: P = 11,36 kW

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Tensão de fase

Vph = 400/√3 = 230,9 V

Corrente de fase

|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω
Iph = 230,9/13 = 17,76 A

Potência ativa total

Só a parte resistiva de cada impedância absorve potência ativa.

P = 3·Iph²·R = 3·17,76²·12 = 11,36 kW

Resposta

P = 11,36 kW

Verificação: cos φ = R/|Z| = 0,9231, e √3·VL·IL·cos φ dá a mesma potência.

8.Potência trifásica

Resposta: Cph = 163,7 µF

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 120·tan(acos 0,8) = 120·0,75 = 90 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,9) = 120·0,4843 = 58,12 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 31,88 kvar

Capacitância por fase

Em um banco em Δ cada capacitor está ligado entre duas linhas.

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 10627/(377·415²) = 163,7 µF

Resposta

Cph = 163,7 µF

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