Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Um conversor buck-boost inversor ideal converte 12 V em −36 V a 40 kHz com L = 100 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.

Vin​ = 12 VVo​ = −36 Vf = 40 kHzL = 100 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
tiL​Imax​IL​DTT2T

Um conversor buck-boost inversor ideal converte 24 V em −36 V para uma carga de 20 Ω a 25 kHz. Encontre a menor indutância Lcrit para condução contínua.

Vin​ = 24 VVo​ = −36 Vf = 25 kHzR = 20 Ω
Lcrit = µH
3.Motores CCMédia
T (N·m)n (rpm)30 N·mn0​n = ?

Um motor CC (k = 1,5 N·m/A, Ra = 0,4 Ω) funciona com 220 V e aciona um torque de carga de 30 N·m. Encontre sua velocidade n em rpm.

V = 220 Vk = 1,5 N·m/ARa = 0,4 ΩT = 30 N·m
n = rpm
4.Motores CCDifícil
T (N·m)n (rpm)20 N·m1200 rpm

Um motor CC com k = 1 V·s/rad e Ra = 1 Ω deve acionar uma carga de 20 N·m a 1200 rpm. Encontre a tensão de armadura V de que ele precisa.

k = 1 V·s/radRa = 1 ΩT = 20 N·mn = 1200 rpm
V = V
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
230 V122 kW, 0,8218 kW, 1I = ?

Duas cargas estão ligadas em paralelo a uma fonte monofásica de 230 V: uma carga de 22 kW com fator de potência 0,8 indutivo e um aquecedor de 18 kW (fator de potência unitário). Encontre a corrente total I absorvida da fonte.

V = 230 VP1 = 22 kW, pf1 = 0,8 indutivoP2 = 18 kW, pf2 = 1
I = A
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
P1​ = 19 kWQ1​S1​φ

Um transformador monofásico de 75 kVA alimenta uma carga de 19 kW com fator de potência 0,8 indutivo. Quanta potência ativa adicional ΔP pode ser acrescentada como carga resistiva (fator de potência unitário) antes que o transformador atinja sua potência nominal em kVA?

Smax = 75 kVAP1 = 19 kWpf1 = 0,8
ΔP = kW
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 400 VIL​ = 75 Acos φ = 0,9indutivo

Uma carga trifásica equilibrada consome uma corrente de linha de 75 A de uma alimentação com tensão de linha de 400 V. O fator de potência é 0,9 indutivo. Encontre a potência ativa total P consumida pela carga em kW.

VL = 400 VIL = 75 Acos φ = 0,9
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​

Uma carga trifásica equilibrada consome 100 kW com fator de potência 0,7 indutivo de uma alimentação de 400 V (tensão de linha), 50 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,98 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Δ. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.

P = 100 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: ΔIL = 2,25 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 36/(12 + 36) = 0,75

Tensão no indutor durante o tempo de condução

Enquanto S conduz, o indutor fica diretamente sobre Vin.

VL = 12 V

Ondulação de corrente

ΔIL = VL·D/(L·f) = 12·0,75/(100·10⁻⁶·40·10³) = 2,25 A

Resposta

ΔIL = 2,25 A
2.Conversores CC-CC

Resposta: Lcrit = 64 µH

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 36/(24 + 36) = 0,6

Condição de limite

Iguale a corrente média no indutor à metade da ondulação de corrente e resolva para L.

Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)

Indutância crítica

Lcrit = (1 − 0,6)²·20/(225·10³) = 64 µH

Resposta

Lcrit = 64 µH
3.Motores CC

Resposta: n = 1350 rpm

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Corrente de armadura

Ia = T/k = 30/1,5 = 20 A

fcem e velocidade

E = 220 − 20·0,4 = 212 V
ω = E/k = 141,3 rad/s → n = 1350 rpm

Resposta

n = 1350 rpm
4.Motores CC

Resposta: V = 145,7 V

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Força contraeletromotriz

E = 1·125,7 = 125,7 V

Corrente de armadura

Ia = 20/1 = 20 A

Tensão de armadura

V = 125,7 + 20·1 = 145,7 V

Resposta

V = 145,7 V
5.Potência CA e fator de potência

Resposta: I = 188,1 A

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa de cada carga

Uma carga indutiva consome potência reativa (Q > 0); uma carga capacitiva a fornece (Q < 0).

Q1 = 22·tan(arccos 0,8) = 16,5 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar

Totais

P = 22 + 18 = 40 kW
Q = 16,5 + 0 = 16,5 kvar
S = √(40² + 16,5²) = 43,27 kVA

Corrente total

I = S/V = 43270/230 = 188,1 A

Resposta

I = 188,1 A
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: ΔP = 54,63 kW

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa da carga existente

Q1 = 19·tan(arccos 0,8) = 14,25 kvar

Maior potência ativa total

Na potência nominal S = Smax, e Q não é alterada pela carga resistiva.

P = √(Smax² − Q1²) = √(75² − 14,25²) = 73,63 kW

Potência ativa adicional

ΔP = 73,63 − 19 = 54,63 kW

Resposta

ΔP = 54,63 kW
7.Potência trifásica

Resposta: P = 46,77 kW

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Potência aparente

S = √3·VL·IL = √3·400·75 = 51,96 kVA

Potência ativa

P = S·cos φ = 51,96·0,9 = 46,77 kW

Resposta

P = 46,77 kW
8.Potência trifásica

Resposta: Cph = 541,9 µF

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 100·tan(acos 0,7) = 100·1,02 = 102 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,98) = 100·0,2031 = 20,31 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 81,71 kvar

Capacitância por fase

Em um banco em Δ cada capacitor está ligado entre duas linhas.

V = 400 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 27238/(314,2·400²) = 541,9 µF

Resposta

Cph = 541,9 µF

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