Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
tiL​Imax​ = ?Imin​Io​DTT2T

Um conversor buck converte 12 V em 6 V para uma carga de 25 Ω. Ele chaveia a 500 kHz com L = 100 µH. Encontre a corrente de pico no indutor Imax.

Vin​ = 12 VVo​ = 6 Vf = 500 kHzL = 100 µHR = 25 Ω
Imax = A
2.Conversores CC-CCDifícil
+−48 VSL = 47 µHC = ?R+−28,8 V

Um conversor buck converte 48 V em 28,8 V a 200 kHz com L = 47 µH. Encontre a capacitância de saída C que limita a ondulação pico a pico da saída a 25 mV.

Vin​ = 48 VVo​ = 28,8 Vf = 200 kHzL = 47 µHΔVo = 25 mV
C = µF
3.Motores CCMédia
+−VRa​M+−En = 1450 rpmT = ?

Um motor CC fornece 15 kW de potência mecânica a 1450 rpm. Encontre o torque no eixo T.

P = 15 kWn = 1450 rpm
T = N·m
4.Motores CCDifícil
+−110 VD = ?Ra​ = 0,2 ΩM+−En = 1000 rpmT = 1,8 N·m

Um chopper CC alimenta um motor (k = 0,15 V·s/rad, Ra = 0,2 Ω) a partir de um barramento CC de 110 V. A tensão média de armadura é D·110 V. Encontre a razão cíclica D que faz o motor funcionar a 1000 rpm com uma carga de 1,8 N·m.

Vdc = 110 Vk = 0,15 V·s/radRa = 0,2 ΩT = 1,8 N·mn = 1000 rpm
D = %
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
P = 25 kWQ = ?Sφ

Um motor monofásico consome 25 kW com fator de potência 0,65 indutivo de uma fonte de 230 V. Encontre a potência reativa Q que ele consome.

P = 25 kWpf = 0,65V = 230 V
Q = kvar
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
230 V50 HzRs​ = 50 ΩXs​ = j20 ΩZL​ = ?

Uma fonte de 230 V (eficaz), 50 Hz tem impedância interna Zs = 50 + j20 Ω. A impedância de carga ZL pode ser escolhida livremente. Encontre a potência ativa máxima Pmax que pode ser entregue à carga.

Vs = 230 V (rms)f = 50 HzZs = 50 + j20 Ω
Pmax = W
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 690 VIL​ = 60 Acos φ = 0,92indutivo

Uma carga trifásica equilibrada consome uma corrente de linha de 60 A de uma alimentação com tensão de linha de 690 V. O fator de potência é 0,92 indutivo. Encontre a potência ativa total P consumida pela carga em kW.

VL = 690 VIL = 60 Acos φ = 0,92
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Uma carga trifásica equilibrada consome 150 kW com fator de potência 0,7 indutivo de uma alimentação de 415 V (tensão de linha), 50 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,95 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Encontre a potência reativa total QC que o banco de capacitores deve fornecer, em kvar.

P = 150 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,95VL = 415 Vf = 50 Hz
QC = kvar

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: Imax = 0,27 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 6/12 = 0,5

Corrente média e ondulação

Io = 6/25 = 0,24 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 6·0,5/(100·10⁻⁶·500·10³) = 0,06 A

Corrente de pico

Imax = 0,24 + 0,06/2 = 0,27 A

Resposta

Imax = 0,27 A
2.Conversores CC-CC

Resposta: C = 30,64 µF

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 28,8/48 = 0,6

Ondulação de corrente no indutor

ΔIL = (48 − 28,8)·0,6/(47·10⁻⁶·200·10³) = 1,226 A

Capacitância

C = 1,226/(8·200·10³·25·10⁻³) = 30,64 µF

Resposta

C = 30,64 µF
3.Motores CC

Resposta: T = 98,79 N·m

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Velocidade em rad/s

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

Torque

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Resposta

T = 98,79 N·m
4.Motores CC

Resposta: D = 16,46 %

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Tensão de armadura necessária

Va = 0,15·104,7 + 12·0,2 = 18,11 V

Ciclo de trabalho

D = 18,11/110 = 16,46 %

Resposta

D = 16,46 %
5.Potência CA e fator de potência

Resposta: Q = 29,23 kvar

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Ângulo

φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169

Potência reativa

Q = P·tan φ = 25·1,169 = 29,23 kvar

Resposta

Q = 29,23 kvar
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: Pmax = 264,5 W

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Casamento conjugado

A reatância da carga anula a reatância da fonte, e a resistência da carga é igual à resistência da fonte.

ZL = Zs* = 50 − j20 Ω

Potência máxima

I = Vs/(2Rs) = 230/100 = 2,3 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 230²/(4·50) = 264,5 W

Resposta

Pmax = 264,5 W
7.Potência trifásica

Resposta: P = 65,97 kW

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Potência aparente

S = √3·VL·IL = √3·690·60 = 71,71 kVA

Potência ativa

P = S·cos φ = 71,71·0,92 = 65,97 kW

Resposta

P = 65,97 kW
8.Potência trifásica

Resposta: QC = 103,7 kvar

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 150·tan(acos 0,7) = 150·1,02 = 153 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0,95) = 150·0,3287 = 49,3 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 103,7 kvar

Resposta

QC = 103,7 kvar

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