Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor buck-boost inversor ideal converte 24 V em −72 V a 50 kHz com L = 100 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.
Vin = 24 VVo = −72 Vf = 50 kHzL = 100 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor boost ideal converte 15 V em 20 V para uma carga de 10 Ω a 50 kHz. O capacitor de saída é de 220 µF. Encontre a ondulação pico a pico da tensão de saída ΔVo em mV.
Vin = 15 VVo = 20 Vf = 50 kHzC = 220 µFR = 10 Ω
ΔVo = mV
3.Motores CCMédia
Um motor CC (k = 0,3 V·s/rad, Ra = 0,8 Ω) funciona com 110 V. A plena carga ele consome 8 A. Desprezando a corrente a vazio, encontre sua regulação de velocidade SR = (n₀ − nFL)/nFL em porcentagem.
V = 110 Vk = 0,3 V·s/radRa = 0,8 ΩIFL = 8 A
SR = %
4.Motores CCDifícil
Um motor CC de excitação independente em 120 V (Ra = 0,25 Ω) gira a 900 rpm com uma corrente de armadura de 25 A. A carga muda e a corrente passa a 37,5 A, com o campo inalterado. Encontre a nova velocidade n2.
V = 120 VRa = 0,25 Ωn1 = 900 rpmIa1 = 25 AIa2 = 37,5 A
n2 = rpm
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
Duas cargas estão ligadas em paralelo a uma fonte monofásica de 400 V: uma carga de 22 kW com fator de potência 0,7 indutivo e uma carga de 18 kW com fator de potência 0,9 capacitivo. Encontre o fator de potência global cos φ visto pela fonte.
Uma carga monofásica consome 20 kW com fator de potência 0,6 indutivo de uma fonte de 230 V, 50 Hz. Um capacitor ligado em paralelo eleva o fator de potência para 0,98. Encontre a capacitância C necessária.
P = 20 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,98V = 230 Vf = 50 Hz
C = µF
7.Potência trifásicaMédia
Um motor de indução trifásico fornece 18,5 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 95% e seu fator de potência é 0,88 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 480 V. Encontre a corrente de linha IL.
Pout = 18,5 kWη = 95%cos φ = 0,88VL = 480 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 250 kW com fator de potência 0,72 indutivo de uma alimentação de 400 V (tensão de linha), 50 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,98 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Y. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.
P = 250 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: ΔIL = 3,6 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 72/(24 + 72) = 0,75
Tensão no indutor durante o tempo de condução
Enquanto S conduz, o indutor fica diretamente sobre Vin.
VL = 24 V
Ondulação de corrente
ΔIL = VL·D/(L·f) = 24·0,75/(100·10⁻⁶·50·10³) = 3,6 A
Resposta
ΔIL = 3,6 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: ΔVo = 45,45 mV
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 1 − 15/20 = 0,25
Corrente na carga
Io = 20/10 = 2 A
Ondulação da saída
ΔVo = 2·0,25/(50·10³·220·10⁻⁶) = 45,45 mV
Resposta
ΔVo = 45,45 mV
3.Motores CC
Resposta: SR = 6,178 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Velocidade a vazio e a plena carga
n₀ = 60·110/(2π·0,3) = 3501 rpm
nFL = 60·(110 − 8·0,8)/(2π·0,3) = 3298 rpm
Regulação de velocidade
SR = (3501 − 3298)/3298·100 = 6,178 %
Resposta
SR = 6,178 %
4.Motores CC
Resposta: n2 = 875,3 rpm
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
fcem antes e depois
E1 = 120 − 25·0,25 = 113,8 V
E2 = 120 − 37,5·0,25 = 110,6 V
Nova velocidade
n2 = 900·110,6/113,8 = 875,3 rpm
Resposta
n2 = 875,3 rpm
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: cos φ = 0,9459
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa de cada carga
Uma carga indutiva consome potência reativa (Q > 0); uma carga capacitiva a fornece (Q < 0).
Q1 = 22·tan(arccos 0,7) = 22,44 kvar
Q2 = −18·tan(arccos 0,9) = −8,718 kvar
Totais
P = 22 + 18 = 40 kW
Q = 22,44 + (−8,718) = 13,73 kvar
S = √(40² + 13,73²) = 42,29 kVA
Fator de potência global
cos φ = P/S = 40/42,29 = 0,9459 indutivo
Resposta
cos φ = 0,9459
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: C = 1360 µF
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.
Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(53,13°) = 26,67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(11,48°) = 4,061 kvar
QC = Q1 − Q2 = 22,61 kvar
Capacitância
Um capacitor ligado à fonte fornece Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 22605/(2π·50·230²) = 1360 µF
Resposta
C = 1360 µF
7.Potência trifásica
Resposta: IL = 26,62 A
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência elétrica de entrada
Pin = Pout/η = 18,5/0,95 = 19,47 kW
Corrente de linha
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 19474/(√3·480·0,88) = 26,62 A
Resposta
IL = 26,62 A
8.Potência trifásica
Resposta: Cph = 3784 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.
Q1 = 250·tan(acos 0,72) = 250·0,9639 = 241 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,98) = 250·0,2031 = 50,76 kvar
Potência reativa dos capacitores
QC = Q1 − Q2 = 190,2 kvar
Capacitância por fase
Em um banco em Y cada capacitor está ligado entre uma linha e o centro da estrela.