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1Fórmulas e métodos
Vetores: produto escalar e vetorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vetor unitário
û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Produto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabalho
W = F·d
Produto vetorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O
MO = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.
Reações de apoio em vigas
Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d
Método
Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.
Treliça: método dos nós
Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão
Método
Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.
Pórticos e máquinas
Equilíbrio de cada membro
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças
força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino
iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino
F = √(Fx² + Fy²)
Alavanca, alicate, alavanca angular
Fin·a = Fout·b
Articulação de joelho
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Método
Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0; combine as componentes em um módulo só no final.
Esforço cortante e momento fletor
Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.
Centroide e momento de inércia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Exercícios
1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia
Encontre a projeção escalar compb a de a = (0, −6, 2) sobre b = (2, 4, −1), isto é, a componente de a na direção de b.
a = (0, −6, 2)b = (2, 4, −1)
compb a =
2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil
Encontre o volume V do paralelepípedo cujas arestas a partir de um vértice são a = (−2, −5, −2), b = (−3, 4, 5) e c = (−1, 4, −1).
a = (−2, −5, −2)b = (−3, 4, 5)c = (−1, 4, −1)
V =
3.Reações de apoio em vigasMédia
A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 2,5 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Encontre a reação vertical RA, considerando positivo para cima.
AB = 2,5 mAC = 4 mP1 = 40 kN em 0,5 mP2 = 80 kN em 4 m
RA = kN
4.Reações de apoio em vigasDifícil
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RB.
L = 6 mP = 40 kN em 5 mw = 4 kN/m de 2 a 4 m
RB = kN
5.Treliça: método dos nósMédia
Use o método dos nós para encontrar a força FBC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
vão = 5 maltura = 3 mB está a 1 m de Acarga vertical = 60 kN
FBC = kN
6.Treliça: método dos nósDifícil
Use o método dos nós para encontrar a força FBC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
vão = 4 maltura = 3 mB está a 1 m de Acarga vertical = 55 kNcarga horizontal = 20 kN ←
FBC = kN
7.Pórticos e máquinasMédia
O pórtico mostrado tem pinos em A, B e C; A e C estão fixados ao solo a 4 m de distância, e B está a 4 m acima do solo e a 1,2 m à direita de A. Uma carga vertical de 10 kN atua no membro AB em K, a 0,3 m (na horizontal) de A. Encontre a força FBC no membro BC.
P = 10 kNL = 4 mH = 4 mdistância horizontal de A a B = 1,2 mdistância horizontal de A a K = 0,3 m
FBC = kN
8.Pórticos e máquinasDifícil
Uma prensa de articulação de joelho tem duas barras iguais AB e BC, cada uma com 200 mm de comprimento entre pinos. A junta B está 10 mm acima da reta AC. Que força para baixo F em B produz uma força de prensagem horizontal de 1000 N no cursor C? Despreze o atrito e os pesos.
Q = 1000 NAB = BC = 200 mmh = 10 mm
F = N
9.Esforço cortante e momento fletorMédia
A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 0,5 m de A. Encontre o momento fletor MA no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
L = 3 mP = 50 kN em 0,5 mw = 6 kN/m de 0 a 3 m
MA = kN·m
10.Esforço cortante e momento fletorDifícil
A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre a distância x0 de A até a seção onde o momento fletor é máximo.
L = 5 mw = 8 kN/m de 2 a 4 m
x0 = m
11.Centroide e momento de inérciaMédia
Encontre o momento de inércia Ix da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.
bf = 260 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide e momento de inérciaDifícil
Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 60 MPa na tração e 90 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor positivo Mallow que a viga pode suportar.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Produto escalar
a·b = 0·2 + (−6)·4 + 2·(−1) = −26
Comprimento de b
|b| = √(2² + 4² + (−1)²) = 4,583
Projeção escalar
compb a = a·b/|b| = −26/4,583 = −5,674
Resposta
compb a = −5,674
Negativa: a tem uma componente que aponta contra b.
2.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: V = 104
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Momentos em relação a A
Anti-horário positivo.
ΣMA = 0: RB·2,5 = 40·0,5 + 80·4
RB = 340/2,5 = 136 kN
Equilíbrio vertical
RA = 40 + 80 − 136 = −16 kN
Resposta
RA = −16 kN
RA é negativa: o apoio fixo em A precisa segurar a viga para baixo.
4.Reações de apoio em vigas
Resposta: RB = 37,33 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.
Diagrama de corpo livre
Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.
Equilíbrio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, atuando em x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 40·5 + 4·2·3
RB = 224/6 = 37,33 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 37,33 = 10,67 kN
Resposta
RB = 37,33 kN
5.Treliça: método dos nós
Resposta: FBC = −20 kN
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Reações de apoio
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
ΣMA = 0: Cy·5 = 60·1 → Cy = 12 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 12 = 48 kN
Nó C
O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Reações de apoio
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
ΣMA = 0: Cy·4 = 55·1 − 20·3 → Cy = −1,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − −1,25 = 56,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
Nó C
O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.
sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Membro de duas forças BC
BC = √(2,8² + 4²) = 4,883 m
Pórtico inteiro: momentos em torno de A
O solo empurra BC em C ao longo de CB; sua componente horizontal passa por A, e só a vertical tem momento.
FBC·(4/4,883)·4 = 10·0,3
FBC = 0,9155 kN (compressão)
Resposta
FBC = 0,9155 kN
8.Pórticos e máquinas
Resposta: F = 100,1 N
Máquinas: alicates, alavancas, articulações e grampos transformam uma força de entrada em uma força de saída maior ou de outra direção. Desenhe uma peça como corpo livre e tome momentos em torno do seu pivô: a força no pino sai da equação, e Fin·a = Fout·b dá a vantagem mecânica a/b. A força no pino decorre então de ΣF = 0 na mesma peça. Em uma articulação de joelho, duas barras se encontram em um ângulo raso θ; cada barra é um membro de duas forças, de modo que uma pequena força F na junta cria grandes forças F/(2 sen θ) nas barras e uma força de aperto F/(2 tan θ).
Ângulo da barra
sin θ = 10/200 = 0,05, θ = 2,866°
Força na barra
Flink = Q/cos θ = 1001 N
Força em B
F = 2·Flink·sin θ = 2·1000·tan θ = 100,1 N
Resposta
F = 100,1 N
9.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: MA = −52 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Fique com a parte da extremidade livre
P: −50·0,5 = −25 kN·m
w: −6·3²/2 = −27 kN·m
MA = −25 − 27 = −52 kN·m
Resposta
MA = −52 kN·m
Negativo significa tração na face superior.
10.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: x0 = 2,8 m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.
Reações de apoio
Equilíbrio da viga inteira.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, atuando em x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 8·2·3
RB = 48/5 = 9,6 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 9,6 = 6,4 kN
Cortante nulo
O esforço cortante começa em RA, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.
RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 6,4/8 = 2,8 m
Resposta
x0 = 2,8 m
11.Centroide e momento de inércia
Resposta: Ix = 5,158 × 10⁶ mm⁴
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.
Divida em dois retângulos
Meça todo y a partir da borda inferior.
mesa: Af = 260·15 = 3900 mm², yf = 100 + 15/2 = 107,5 mm
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.