CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €6 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 2,5 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 6,5 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.

C₁ = €6 000g = 2,5%r = 6,5%

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €10 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 3 лет под 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?

P = €10 0004,2% / 12N = 36

I = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €60 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €26 000, €26 000, €29 000. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 26 000CF₂ = 26 000CF₃ = 29 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €80 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €7 000 и растёт на 5 % в год до последнего денежного потока в конце года 10. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €7 000g = 5%n = 10r = 12%

NPV = €

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 8%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 7 лет. Доходность к погашению — 6% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 8%YTM = 6%n = 7

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €1 085 при доходности к погашению 5% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 4,3 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность вырастет на 75 базисных пунктов.

P₀ = €1 085y = 5%D = 4,3Δy = +75 bp

P = €

7.CAPM и WACCСредняя

Собственный капитал компании стоит €4 000 000, долг — €2 000 000. Её WACC равна 8,5%, стоимость долга до налогов — 5%, ставка налога — 30%. Найдите стоимость собственного капитала r_e.

E = €4 000 000D = €2 000 000WACC = 8,5%r_d = 5%T = 30%

r_e = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 2 500 000 акций по €14,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 28%. Бета акции — 1,8, безрисковая ставка — 2,5%, доходность рынка — 8,5%. Найдите WACC.

β = 1,8r_f = 2,5%r_m = 8,5%r_d = 3,5%T = 28%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 11, 60, 58, 29, 54, 31, 18.

n = 7

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 173,2.

μ = 170σ = 8x = 173,2

z =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,1, 0,1, 0,3, 0,15

σ =

12.ВероятностьСложная

Испытывают 10 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,3. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 10p = 0,3

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 4 из них превышает 99,5 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4> 99,5 kg

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 75 % значений (75-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 75%

x = баллов

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 7 элементов имеет среднее 13,5 и стандартное отклонение s = 6,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 7x̄ = 13,5s = 6,599%t(6) = 3,707

E =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 10. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 10E = 1,599%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 200,7 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 200,7s = 5n = 81

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 500,4. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите нижнюю границу L 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 500,4σ = 15n = 10095%

L =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 150000 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Растущая бессрочная рента

PV = C₁/(r − g) = 6 000/(0,065 − 0,025) = 6 000/0,04 = €150 000,00

Ответ

PV = €150 000,00

2.Временная стоимость денег

Ответ: I = 660,7 €

Ежемесячный платёж

i = 0,0035, N = 36

A = 10 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)⁻³⁶) = €296,13

Всего процентов

I = N·A − P = 36·296,1 − 10 000 = €660,69

Ответ

I = €660,69

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 6912 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 26 000/1,1 = 23 636,36

CF₂/(1 + 0,1)² = 26 000/1,21 = 21 487,60

CF₃/(1 + 0,1)³ = 29 000/1,331 = 21 788,13

Сложите

NPV = €6 912,10

Ответ

NPV = €6 912,10

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: NPV = −32446 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,05)/(1,12))¹⁰ = 0,5245

PV = 7 000/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,5245) = 47 553,95

NPV

NPV = 47 553,95 − 80 000 = −€32 446,05

Ответ

NPV = −€32 446,05

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1113 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €40,00, i = 0,03, N = 14

Приведённая стоимость купонов

€40,00·(1 − 0,6611)/0,03 = €451,84

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,6611 = €661,12

Цена

P = €1 112,96

Ответ

P = €1 112,96

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1052 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 4,3/1,05 = 4,095

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −4,095·(0,0075) = −3,071%

P ≈ 1085·(1 − 0,03071) = €1 051,67

Ответ

P = €1 051,67

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

7.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 11 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

Долговая часть WACC

0,3333·5%·(1 − 0,3) = 1,167%

Стоимость собственного капитала

r_e = (8,5% − 1,167%)/0,6667 = 11%

Ответ

r_e = 11%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,42 %

Рыночные стоимости

E = 2 500 000·€14,00 = €35 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,8·6% = 13,3%

Веса

V = €77 000 000, E/V = 0,4545, D/V = 0,5455

WACC

WACC = 0,4545·13,3% + 0,5455·3,5%·(1 − 0,28) = 7,42%

Ответ

WACC = 7,42%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 19,98

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 261/7 = 37,29

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−26,29)² + 22,71² + 20,71² + (−8,286)² + 16,71² + (−6,286)² + (−19,29)² = 2395

Стандартное отклонение

s = √(2395/6) = 19,98

Ответ

s = 19,98

10.Описательная статистика

Ответ: z = 0,4

Стандартизуйте

z = (173,2 − 170)/8 = 0,4

Ответ

z = 0,4

11.Вероятность

Ответ: σ = 1,536

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,1 + 4·0,3 + 5·0,15 = 2,8

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,1 + 16·0,3 + 25·0,15 = 10,2

Дисперсия

Var(X) = 10,2 − 2,8² = 2,36

σ = √2,36 = 1,536

Ответ

σ = 1,536

12.Вероятность

Ответ: P = 0,1493

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,7¹⁰ = 0,02825

P(X = 1) = 10·0,3·0,7⁹ = 0,1211

Сложите

P = 0,02825 + 0,1211 = 0,1493

Ответ

P = 0,1493

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6915

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 100 kg, σ_T = 0,5·√4 = 1 kg

Стандартизуйте

z = (99,5 − 100)/1 = −0,5

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 71,75 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Обратно к x

x = 65 + 0,6745·10 = 71,75 баллов

Ответ

x = 71,75 баллов

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 9,107

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Предельная ошибка

E = 3,707·6,5/√7 = 9,107

Ответ

E = 9,107

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 295

Выразите n

n = (2,576·10/1,5)² = 294,9

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 295

Ответ

n = 295

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,26

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Статистика критерия

t = (200,7 − 200)/0,5556 = 1,26

Ответ

t = 1,26

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 497,5

Предельная ошибка

E = 1,96·15/√100 = 2,94

Граница интервала

L = 500,4 − 2,94 = 497,5

Ответ

L = 497,5

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9673

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 91/5 = 18,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 66,8

Коэффициент корреляции

r = −25/√(10·66,8) = −0,9673

Ответ

r = −0,9673

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 22,45

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 122/5 = 24,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13

Линия регрессии

b = −13/10 = −1,3

a = 24,4 − (−1,3)·3 = 28,3

ŷ = 28,3 − 1,3·x

Прогноз

ŷ = 28,3 + (−1,3)·4,5 = 22,45

Ответ

ŷ = 22,45

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income