CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €2 000 под номинальную ставку 3,6 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 10 лет.

PV = €2 0003,6% / 12n = 10

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €1 000 в начале каждого года в течение 18 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 8 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 18? Найдите FV.

A = €1 000i = 8%n = 18

FV = €

3.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €100 000 сегодня. Он приносит €10 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 1 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €10 000g = 1%r = 10%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 и приносит €26 500, €28 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −50 000CF₁ = 26 500CF₂ = 28 000

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 2%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 4 лет. Доходность к погашению — 3% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 2%YTM = 3%n = 4

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 8% погашается через 9 лет и продаётся за €1 065. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 8%n = 9P = €1 065

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

Акция с бетой 1,4 имеет требуемую доходность 9,6%. Безрисковая ставка — 4%. Какую ожидаемую доходность рынка r_m подразумевает CAPM?

β = 1,4r_e = 9,6%r_f = 4%

r_m = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 2 500 000 акций по €33,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €980 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 25%. Бета акции — 1,2, безрисковая ставка — 1,5%, доходность рынка — 6%. Найдите WACC.

β = 1,2r_f = 1,5%r_m = 6%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 36, 35, 29, 23, 34.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 180.

μ = 170σ = 10x = 180

z =

11.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 5 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 5

P =

12.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X − 3. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,35, 0,2, 0,3Y = 5X − 3

σ_Y =

13.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (коробки) независимы и нормально распределены со средним 12 kg и стандартным отклонением 0,8 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 10 из них превышает 121,3 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 10> 121,3 kg

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Масса X изделия с линии 1 и Y с линии 2 независимы и нормально распределены: X имеет среднее 500 g и стандартное отклонение 8 g, Y имеет среднее 490 g и стандартное отклонение 6 g. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 6 элементов имеет среднее 72,5 и стандартное отклонение s = 3,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 6x̄ = 72,5s = 3,599%t(5) = 4,032

E =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 30. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?

σ = 30E = 295%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 40 деталей имеет среднюю длину 98 mm, известное стандартное отклонение линии 8 mm. Линия 2: выборка из 40 деталей имеет среднее 101,8 mm, известное стандартное отклонение 10 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 40x̄₁ = 98 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 40x̄₂ = 101,8 mmσ₂ = 10 mm

z =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 3 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 6. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,01мощность = 80%δ = 3σ = 6z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 15,5.

n = 5x = 15,5

ŷ =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 2865 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·10 = 120

Будущая стоимость

FV = 2 000·(1 + 0,003)¹²⁰ = 2 000·1,433 = €2 865,11

Ответ

FV = €2 865,11

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 40446 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,08)¹⁸ − 1)/0,08 = 37,45

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 1 000·37,45·1,08 = €40 446,26

Ответ

FV = €40 446,26

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 11111 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 10 000/(0,1 − 0,01) = 111 111,11

NPV

NPV = 111 111,11 − 100 000 = €11 111,11

Ответ

NPV = €11 111,11

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 5,887 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(5%) = 634,92

NPV(10%) = −2 768,60

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 5 + 5·634,92/(634,92 − (−2 768,60)) = 5,933%

точно: NPV(5,887%) = 0 → IRR = 5,887%

Ответ

IRR = 5,887%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 962,6 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €10,00, i = 0,015, N = 8

Приведённая стоимость купонов

€10,00·(1 − 0,8877)/0,015 = €74,86

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,8877 = €887,71

Цена

P = €962,57

Ответ

P = €962,57

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 7,002 %

Уравнение для доходности

€1 065 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Численное решение

P(7%) = €1 065,15, P(8%) = €1 000,00

YTM = 7,002%

Ответ

YTM = 7,002%

7.CAPM и WACC

Ответ: r_m = 8 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Рыночная премия за риск

r_m − r_f = (9,6% − 4%)/1,4 = 4%

Доходность рынка

r_m = 4% + 4% = 8%

Ответ

r_m = 8%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 5,644 %

Рыночные стоимости

E = 2 500 000·€33,00 = €82 500 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,2·4,5% = 6,9%

Веса

V = €121 700 000, E/V = 0,6779, D/V = 0,3221

WACC

WACC = 0,6779·6,9% + 0,3221·4%·(1 − 0,25) = 5,644%

Ответ

WACC = 5,644%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 5,413

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 157/5 = 31,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 4,6² + 3,6² + (−2,4)² + (−8,4)² + 2,6² = 117,2

Стандартное отклонение

s = √(117,2/4) = 5,413

Ответ

s = 5,413

10.Описательная статистика

Ответ: z = 1

Стандартизуйте

z = (180 − 170)/10 = 1

Ответ

z = 1

11.Вероятность

Ответ: P = 0,5981

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Ответ

P = 0,5981

12.Вероятность

Ответ: σ_Y = 5,309

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 2,65, Var(X) = 1,127, σ_X = 1,062

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·1,062 = 5,309

Ответ

σ_Y = 5,309

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·2,65 − 3 = 10,25.

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,305

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 120 kg, σ_T = 0,8·√10 = 2,53 kg

Стандартизуйте

z = (121,3 − 120)/2,53 = 0,51

Вероятность

P = 1 − Φ(0,51) = 0,305

Ответ

P = 0,305

14.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Распределение разности

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Вероятность

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 5,761

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Предельная ошибка

E = 4,032·3,5/√6 = 5,761

Ответ

E = 5,761

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 865

Выразите n

n = (1,96·30/2)² = 864,4

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 865

Ответ

n = 865

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,877

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(8²/40 + 10²/40) = √4,1 = 2,025

Статистика критерия

z = (98 − 101,8)/2,025 = −1,877

Ответ

z = −1,877

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 41

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((2,326 + 0,842)·6/3)² = 40,14

Округлите вверх

n = 41

Ответ

n = 41

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9771

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 346/5 = 69,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 756,8

Коэффициент корреляции

r = 170/√(40·756,8) = 0,9771

Ответ

r = 0,9771

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 28,65

Средние

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 216/5 = 43,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 291

Линия регрессии

b = 291/90 = 3,233

a = 43,2 − 3,233·20 = −21,47

ŷ = −21,47 + 3,233·x

Прогноз

ŷ = −21,47 + 3,233·15,5 = 28,65

Ответ

ŷ = 28,65

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income