CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €5 000 под 5 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 19 лет.

PV = €5 000r = 5%t = 19

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €25 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 6 лет под 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?

P = €25 0005,4% / 12N = 72

I = €

3.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €50 000 сегодня, служит 7 лет, а его эксплуатация обходится в €5 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 5 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.

C₀ = €50 000M = €5 000n = 7r = 5%

EAC = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €5 000 и растёт на 3 % в год до последнего денежного потока в конце года 10. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €5 000g = 3%n = 10r = 12%

NPV = €

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 12 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €1 094 при доходности к погашению 4%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 12P = €1 094YTM = 4%

c = %

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 5% погашается через 7 лет и продаётся за €890. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 5%n = 7P = €890

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €6 000 000, привилегированными акциями стоимостью €2 000 000 и долгом стоимостью €5 000 000. Стоимость собственного капитала — 14%, стоимость привилегированного капитала — 7%, стоимость долга до налогов — 5%. Ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

E = €6 000 000P_s = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 14%r_p = 7%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

Бета акций компании равна 1,4 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,4. Компания планирует увеличить это соотношение до 0,6. Ставка налога — 25,8%, безрисковая ставка — 2%, рыночная премия за риск — 4%. Найдите стоимость собственного капитала r_e после изменения.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,4D/E₂ = 0,6T = 25,8%r_f = 2%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 50, 56, 31, 29, 29, 15.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 50. Найдите z-оценку z для результата 520.

μ = 500σ = 50x = 520

z =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,2, 0,05, 0,35, 0,3

σ =

12.ВероятностьСложная

Испытывают 7 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,4. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 7p = 0,4

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 420 и 508 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x₁ = 420x₂ = 508

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Время круга X бегуна A и время круга Y бегуна B независимы и нормально распределены: X имеет среднее 52 s и стандартное отклонение 4 s, Y имеет среднее 48 s и стандартное отклонение 3 s. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 21 элементов имеет среднее 37 и стандартное отклонение s = 2,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 21x̄ = 37s = 2,595%t(20) = 2,086

нижняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 8 участков, средний урожай 72 kg, стандартное отклонение 3 kg. Группа участков 2: 6 участков, среднее 73,5 kg, стандартное отклонение 1,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 72s₁ = 3n₂ = 6x̄₂ = 73,5s₂ = 1,590%t(12) = 1,782

E = kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 46,9 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 46,9s = 8n = 64

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 99. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 99σ = 4n = 10099%

U =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 2.

n = 6x = 2

ŷ =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 12929 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,05·19 = 0,95

e^0,95 = 2,586

Будущая стоимость

FV = 5 000·2,586 = €12 928,55

Ответ

FV = €12 928,55

2.Временная стоимость денег

Ответ: I = 4324 €

Ежемесячный платёж

i = 0,0045, N = 72

A = 25 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻⁷²) = €407,28

Всего процентов

I = N·A − P = 72·407,3 − 25 000 = €4 324,04

Ответ

I = €4 324,04

3.NPV и IRR

Ответ: EAC = 13641 €

Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.

Коэффициент аннуитета

(1 − 1,05⁻⁷)/0,05 = 5,786

Цена покупки в пересчёте на год

50 000/5,786 = 8 640,99

EAC

EAC = 8 640,99 + 5 000 = €13 640,99

Ответ

EAC = €13 640,99

4.NPV и IRR

Ответ: NPV = −18484 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,03)/(1,12))¹⁰ = 0,4327

PV = 5 000/(0,12 − 0,03)·(1 − 0,4327) = 31 516,38

NPV

NPV = 31 516,38 − 50 000 = −€18 483,62

Ответ

NPV = −€18 483,62

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 5,002 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,04)⁻¹² = €624,60

Купон

C = (1094 − 624,60)/9,385 = €50,02

Купонная ставка

c = 50,02/1000 = 5,002%

Ответ

c = 5,002%

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 7,044 %

Уравнение для доходности

€890 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Численное решение

P(7%) = €892,21, P(8%) = €843,81

YTM = 7,044%

Ответ

YTM = 7,044%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,965 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = 6 000 000 + 2 000 000 + 5 000 000 = €13 000 000

E/V = 0,4615, P_s/V = 0,1538, D/V = 0,3846

WACC

WACC = 0,4615·14% + 0,1538·7% + 0,3846·5%·(1 − 0,258) = 8,965%

Ответ

WACC = 8,965%

8.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 8,241 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета без учёта долга

β_U = 1,4/(1 + 0,742·0,4) = 1,08

Пересчёт при новом D/E

β_L = 1,08·(1 + 0,742·0,6) = 1,56

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2% + 1,56·4% = 8,241%

Ответ

r_e = 8,241%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 15,19

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 210/6 = 35

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 15² + 21² + (−4)² + (−6)² + (−6)² + (−20)² = 1154

Стандартное отклонение

s = √(1154/5) = 15,19

Ответ

s = 15,19

10.Описательная статистика

Ответ: z = 0,4

Стандартизуйте

z = (520 − 500)/50 = 0,4

Ответ

z = 0,4

11.Вероятность

Ответ: σ = 1,359

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,1 + 2·0,2 + 3·0,05 + 4·0,35 + 5·0,3 = 3,55

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,2 + 9·0,05 + 16·0,35 + 25·0,3 = 14,45

Дисперсия

Var(X) = 14,45 − 3,55² = 1,848

σ = √1,848 = 1,359

Ответ

σ = 1,359

12.Вероятность

Ответ: P = 0,1586

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,6⁷ = 0,02799

P(X = 1) = 7·0,4·0,6⁶ = 0,1306

Сложите

P = 0,02799 + 0,1306 = 0,1586

Ответ

P = 0,1586

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5565

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (420 − 500)/40 = −2

z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2

Площадь между

P = Φ(0,2) − Φ(−2) = 0,5793 − 0,02275 = 0,5565

Ответ

P = 0,5565

14.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

15.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 35,86

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Предельная ошибка

E = 2,086·2,5/√21 = 1,138

Интервал

37 ± 1,138 → [35,86, 38,14]

Ответ

нижняя граница = 35,86

16.Доверительные интервалы

Ответ: E = 2,394 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (7·3² + 5·1,5²)/12 = 6,188

s_p = 2,487

Предельная ошибка

E = 1,782·2,487·√(1/8 + 1/6) = 2,394

Ответ

E = 2,394 kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,1

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Статистика критерия

t = (46,9 − 50)/1 = −3,1

Ответ

t = −3,1

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 100

Предельная ошибка

E = 2,576·4/√100 = 1,03

Граница интервала

U = 99 + 1,03 = 100

Ответ

U = 100

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9761

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 441/6 = 73,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 592,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2284

Коэффициент детерминации

r² = 592,5²/(157,5·2284) = 0,9761

Ответ

r² = 0,9761

Прямая объясняет около 97,61% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 34,61

Средние

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 291/6 = 48,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 243

Линия регрессии

b = 243/70 = 3,471

a = 48,5 − 3,471·6 = 27,67

ŷ = 27,67 + 3,471·x

Прогноз

ŷ = 27,67 + 3,471·2 = 34,61

Ответ

ŷ = 34,61

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income