CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 9 лет вам нужно €50 000. Счёт даёт 4,8 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €50 0004,8% / 12n = 9

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €10 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 4 лет под 2,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?

P = €10 0002,4% / 12N = 48

I = €

3.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €50 000 сегодня. Он приносит €10 500 в конце каждого года в течение 6 лет, а затем может быть продан за €10 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €50 000CF = €10 500S = €10 000n = 6r = 6%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 и приносит €33 000, €22 500, €20 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −50 000CF₁ = 33 000CF₂ = 22 500CF₃ = 20 500

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 4%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 12 лет. Доходность к погашению — 5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 4%YTM = 5%n = 12

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 8% погашается через 3 лет и продаётся за €940. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 8%n = 3P = €940

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

Соотношение заёмного и собственного капитала компании (по рыночной стоимости) равно 0,5. Стоимость её собственного капитала — 12%, стоимость долга до налогов — 5%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

D/E = 0,5r_e = 12%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 4 000 000 акций по €8,50 за штуку и 20 000 облигаций рыночной стоимостью €1 020 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 3%, ставка налога — 25%. Бета акции — 0,8, безрисковая ставка — 2,5%, доходность рынка — 8,5%. Найдите WACC.

β = 0,8r_f = 2,5%r_m = 8,5%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 18, 40, 10, 41, 11, 51.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 50. Какая доля P значений больше 600?

μ = 500σ = 50x = 600

P =

11.ВероятностьСредняя

В мешочке 3 красных и 3 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

3 / 3

P =

12.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 10X + 1. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,05, 0,25, 0,35, 0,3Y = 10X + 1

σ_Y =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 250,25 и 255,25 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 250,25x₂ = 255,25

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

15.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 50 телефонов, среднее 60,5 h, известное стандартное отклонение 14 h. Модель 2: 80 телефонов, среднее 58,5 h, известное стандартное отклонение 17 h. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 60,5 hσ₁ = 14 hn₂ = 80x̄₂ = 58,5 hσ₂ = 17 h99%

нижняя граница = h

16.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,05?

p = 0,5E = 0,0595%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 250; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 10. Случайная выборка из 25 наблюдений имеет среднее 247,6. Проверьте H₀: μ = 250 против H₁: μ < 250. Найдите p-значение p.

μ₀ = 250σ = 10n = 25x̄ = 247,6H₁: μ < μ₀

p =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 36 измерений имеет среднее 73,5. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите верхнюю границу U 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 73,5σ = 4n = 3695%

U =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (9, 26). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(9, 26)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 32488 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·9 = 108

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,539 = €32 488,45

Ответ

PV = €32 488,45

2.Временная стоимость денег

Ответ: I = 497,7 €

Ежемесячный платёж

i = 0,002, N = 48

A = 10 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻⁴⁸) = €218,70

Всего процентов

I = N·A − P = 48·218,7 − 10 000 = €497,67

Ответ

I = €497,67

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 8682 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

10 500·4,917 = 51 631,91

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

10 000/1,419 = 7 049,61

NPV

NPV = −50 000 + 51 631,91 + 7 049,61 = €8 681,51

Ответ

NPV = €8 681,51

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 26,91 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(25%) = 1 296,00

NPV(30%) = −1 970,87

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 25 + 5·1 296,00/(1 296,00 − (−1 970,87)) = 26,98%

точно: NPV(26,91%) = 0 → IRR = 26,91%

Ответ

IRR = 26,91%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 910,6 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €20,00, i = 0,025, N = 24

Приведённая стоимость купонов

€20,00·(1 − 0,5529)/0,025 = €357,70

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,5529 = €552,88

Цена

P = €910,58

Ответ

P = €910,58

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 10,43 %

Уравнение для доходности

€940 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Численное решение

P(10%) = €950,26, P(11%) = €926,69

YTM = 10,43%

Ответ

YTM = 10,43%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,237 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса из D/E

E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667

D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·12% + 0,3333·5%·(1 − 0,258) = 9,237%

Ответ

WACC = 9,237%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 5,406 %

Рыночные стоимости

E = 4 000 000·€8,50 = €34 000 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,8·6% = 7,3%

Веса

V = €54 400 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·7,3% + 0,375·3%·(1 − 0,25) = 5,406%

Ответ

WACC = 5,406%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 17,63

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 171/6 = 28,5

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−10,5)² + 11,5² + (−18,5)² + 12,5² + (−17,5)² + 22,5² = 1554

Стандартное отклонение

s = √(1554/5) = 17,63

Ответ

s = 17,63

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

11.Вероятность

Ответ: P = 0,2

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0,2

Ответ

P = 0,2

12.Вероятность

Ответ: σ_Y = 10,77

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 3,8, Var(X) = 1,16, σ_X = 1,077

Линейное преобразование

σ_Y = |10|·1,077 = 10,77

Ответ

σ_Y = 10,77

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 10·3,8 + 1 = 39.

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3332

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (250,25 − 250)/5 = 0,05

z₂ = (255,25 − 250)/5 = 1,05

Площадь между

P = Φ(1,05) − Φ(0,05) = 0,8531 − 0,5199 = 0,3332

Ответ

P = 0,3332

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 241,8 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Обратно к x

x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g

Ответ

x = 241,78 g

15.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −5,07 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 60,5 − 58,5 = 2

Стандартная ошибка

SE = √(14²/50 + 17²/80) = 2,745

Предельная ошибка

E = 2,576·2,745 = 7,07

Интервал

2 ± 7,07 → [−5,07, 9,07]

Ответ

нижняя граница = −5,07 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 385

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,05² = 384,2

Округлите вверх

n = 385

Ответ

n = 385

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,1151

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 10/√25 = 2

z = (247,6 − 250)/2 = −1,2

Площадь хвоста

Φ(1,2) = 0,8849

1 − Φ(1,2) = 0,1151

p-значение

p = 0,1151

Ответ

p = 0,1151

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 74,81

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,96·4/√36 = 1,307

Граница интервала

U = 73,5 + 1,307 = 74,81

Ответ

U = 74,81

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9913

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 504/6 = 84

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 450

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2944

Коэффициент корреляции

r = 450/√(70·2944) = 0,9913

Ответ

r = 0,9913

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2,762

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 112/6 = 18,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

Линия регрессии

b = 160/70 = 2,286

a = 18,67 − 2,286·7 = 2,667

ŷ = 2,667 + 2,286·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 2,667 + 2,286·9 = 23,24

Остаток

e = 26 − 23,24 = 2,762

Ответ

e = 2,762

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income