CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €20 000 под 7 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 5 лет.

PV = €20 000r = 7%t = 5

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €250 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 20 лет. Ставка — 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €250 0004,8% / 12N = 240

A = €

3.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €30 000 сегодня. Он приносит €8 000 в конце каждого года в течение 5 лет, а затем может быть продан за €3 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €30 000CF = €8 000S = €3 000n = 5r = 6%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €29 000, €22 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −40 000CF₁ = 29 000CF₂ = 22 000

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 5 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 2%) при доходности к погашению 4%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 5,5%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.

F = €1 000купон = 2%n = 5y₀ = 4%y₁ = 5,5%

HPR = %

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €945 при доходности к погашению 3% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 7,3 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность снизится на 25 базисных пунктов.

P₀ = €945y = 3%D = 7,3Δy = −25 bp

P = €

7.CAPM и WACCСредняя

Соотношение заёмного и собственного капитала компании (по рыночной стоимости) равно 0,6. Стоимость её собственного капитала — 12%, стоимость долга до налогов — 7%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.

D/E = 0,6r_e = 12%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 2 000 000 акций по €35,00 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €960 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 21%. Бета акции — 0,9, безрисковая ставка — 1%, доходность рынка — 5,5%. Найдите WACC.

β = 0,9r_f = 1%r_m = 5,5%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 15, 11, 22, 35, 33, 35, 14.

n = 7

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 47,5?

μ = 50σ = 5x = 47,5

P =

11.ВероятностьСредняя

В мешочке 7 красных и 7 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

7 / 7

P =

12.ВероятностьСложная

В тесте 8 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,7, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?

n = 8p = 0,7k = 2

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9768. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9768

z =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 80 % значений (80-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 80%

x = cm

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 элементов имеет среднее 52 и стандартное отклонение s = 8,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 25x̄ = 52s = 8,599%t(24) = 2,797

нижняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 11 участков, средний урожай 21,5 kg, стандартное отклонение 2 kg. Группа участков 2: 6 участков, среднее 29 kg, стандартное отклонение 1,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 21,5s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 29s₂ = 1,599%t(15) = 2,947

нижняя граница = kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 46,7 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 46,7s = 15n = 100

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 5 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 20. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 90%δ = 5σ = 20z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 3). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(3, 3)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 28381 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,07·5 = 0,35

e^0,35 = 1,419

Будущая стоимость

FV = 20 000·1,419 = €28 381,35

Ответ

FV = €28 381,35

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 1622 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·20 = 240

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,3836

A = 250 000·0,004/(1 − 0,3836) = €1 622,39

Ответ

A = €1 622,39

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 5941 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

8 000·4,212 = 33 698,91

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

3 000/1,338 = 2 241,77

NPV

NPV = −30 000 + 33 698,91 + 2 241,77 = €5 940,68

Ответ

NPV = €5 940,68

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 18,8 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(15%) = 1 852,55

NPV(20%) = −555,56

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 15 + 5·1 852,55/(1 852,55 − (−555,56)) = 18,85%

точно: NPV(18,8%) = 0 → IRR = 18,8%

Ответ

IRR = 18,8%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: HPR = −1,498 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена покупки

C = €20,00, i = 0,04, N = 5

€20,00·(1 − 0,8219)/0,04 + €1 000·0,8219 = €89,04 + €821,93 = €910,96

Цена продажи

C = €20,00, i = 0,055, N = 4

€20,00·(1 − 0,8072)/0,055 + €1 000·0,8072 = €70,10 + €807,22 = €877,32

Доходность за период владения

HPR = (20 + 877,32 − 910,96)/910,96 = −1,498%

Ответ

HPR = −1,498%

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 961,7 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 7,3/1,03 = 7,087

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −7,087·(−0,0025) = 1,772%

P ≈ 945·(1 + 0,01772) = €961,74

Ответ

P = €961,74

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,574 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса из D/E

E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625

D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375

WACC

WACC = 0,625·12% + 0,375·7%·(1 − 0,21) = 9,574%

Ответ

WACC = 9,574%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 5,03 %

Рыночные стоимости

E = 2 000 000·€35,00 = €70 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1% + 0,9·4,5% = 5,05%

Веса

V = €74 800 000, E/V = 0,9358, D/V = 0,06417

WACC

WACC = 0,9358·5,05% + 0,06417·6%·(1 − 0,21) = 5,03%

Ответ

WACC = 5,03%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 10,61

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 165/7 = 23,57

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−8,571)² + (−12,57)² + (−1,571)² + 11,43² + 9,429² + 11,43² + (−9,571)² = 675,7

Стандартное отклонение

s = √(675,7/6) = 10,61

Ответ

s = 10,61

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6915

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблица нормального распределения

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

11.Вероятность

Ответ: P = 0,2308

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 7/14 · 6/13 = 42/182 = 0,2308

Ответ

P = 0,2308

12.Вероятность

Ответ: P = 0,01

Формула Бернулли

P(X = 2) = 28·0,7²·0,3⁶ = 28·0,49·0,000729 = 0,01

Ответ

P = 0,01

13.Нормальное распределение

Ответ: z = 2,27

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9768)/2 = 0,9884

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9884 внутри таблицы и считайте z.

z = 2,27

Ответ

z = 2,27

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 183,9 cm

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Обратно к x

x = 178 + 0,8416·7 = 183,89 cm

Ответ

x = 183,89 cm

15.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 47,25

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 24, t = 2,797

Предельная ошибка

E = 2,797·8,5/√25 = 4,755

Интервал

52 ± 4,755 → [47,25, 56,75]

Ответ

нижняя граница = 47,25

16.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −10,26 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (10·2² + 5·1,5²)/15 = 3,417

s_p = 1,848

Предельная ошибка

E = 2,947·1,848·√(1/11 + 1/6) = 2,765

Интервал

−7,5 ± 2,765 → [−10,26, −4,735]

Ответ

нижняя граница = −10,26 kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Статистика критерия

t = (46,7 − 50)/1,5 = −2,2

Ответ

t = −2,2

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 138

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 1,282)·20/5)² = 137,1

Округлите вверх

n = 138

Ответ

n = 138

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9607

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 578/6 = 96,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 310

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1487

Коэффициент корреляции

r = 310/√(70·1487) = 0,9607

Ответ

r = 0,9607

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −3,376

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 77/6 = 12,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 113

Линия регрессии

b = 113/70 = 1,614

a = 12,83 − 1,614·7 = 1,533

ŷ = 1,533 + 1,614·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 1,533 + 1,614·3 = 6,376

Остаток

e = 3 − 6,376 = −3,376

Ответ

e = −3,376

Точка лежит ниже прямой.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income