CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Аннуитет выплачивает €2 000 в конце каждого года в течение 4 лет. Процентная ставка — 4 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.

A = €2 000i = 4%n = 4

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €8 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 6 лет. Ставка — 6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €8 0006% / 12N = 72

A = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €16 000, €32 000, €19 000, €23 000. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 16 000CF₂ = 32 000CF₃ = 19 000CF₄ = 23 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €22 500, €22 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −40 000CF₁ = 22 500CF₂ = 22 000

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 9 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €886 при доходности к погашению 3,5%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 9P = €886YTM = 3,5%

c = %

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 6% и погашается через 4 лет. Доходность к погашению — 8%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.

F = €1 000купон = 6%n = 4YTM = 8%

D = годы

7.CAPM и WACCСредняя

Акция с бетой 1,6 имеет требуемую доходность 8,7%. Безрисковая ставка — 1,5%. Какую ожидаемую доходность рынка r_m подразумевает CAPM?

β = 1,6r_e = 8,7%r_f = 1,5%

r_m = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 1 000 000 акций по €13,00 за штуку и 20 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 30%. Бета акции — 1,8, безрисковая ставка — 2,5%, доходность рынка — 7%. Найдите WACC.

β = 1,8r_f = 2,5%r_m = 7%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 42, 28, 25, 54, 13.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 172?

μ = 170σ = 5x = 172

P =

11.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 3 человек из группы из 13 человек? Порядок не важен.

n = 13k = 3

N =

12.ВероятностьСложная

В тесте 8 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,5, независимо. Какова вероятность P ровно 4 верных ответов?

n = 8p = 0,5k = 4

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,5223. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,5223

z =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 30% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов30%

x = баллов

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 20 элементов имеет среднее 119 и стандартное отклонение s = 13,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 20x̄ = 119s = 13,590%t(19) = 1,729

E =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 15. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 15E = 0,599%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 70,11 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 70,11s = 20n = 81

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2? Стандартное отклонение — 8. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 8E = 295%

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 5.

n = 6x = 5

ŷ =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 7260 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,8548)/0,04 = 3,63

Приведённая стоимость

PV = 2 000·3,63 = €7 259,79

Ответ

PV = €7 259,79

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 132,6 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·6 = 72

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,6983

A = 8 000·0,005/(1 − 0,6983) = €132,58

Ответ

A = €132,58

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −2422 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 16 000/1,09 = 14 678,90

CF₂/(1 + 0,09)² = 32 000/1,188 = 26 933,76

CF₃/(1 + 0,09)³ = 19 000/1,295 = 14 671,49

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 23 000/1,412 = 16 293,78

Сложите

NPV = €−2 422,08

Ответ

NPV = €−2 422,08

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 7,441 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(5%) = 1 383,22

NPV(10%) = −1 363,64

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 5 + 5·1 383,22/(1 383,22 − (−1 363,64)) = 7,518%

точно: NPV(7,441%) = 0 → IRR = 7,441%

Ответ

IRR = 7,441%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 2,002 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,035)⁻⁹ = €733,73

Купон

C = (886 − 733,73)/7,608 = €20,02

Купонная ставка

c = 20,02/1000 = 2,002%

Ответ

c = 2,002%

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: D = 3,66 годы

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Приведённая стоимость каждого потока

t = 1: 60/1,08 = 55,56, t·PV = 55,56

t = 2: 60/1,166 = 51,44, t·PV = 102,88

t = 3: 60/1,26 = 47,63, t·PV = 142,89

t = 4: 1060/1,36 = 779,13, t·PV = 3 116,53

Дюрация

P = 933,76

D = 3 417,85/933,76 = 3,66

Ответ

D = 3,66 годы

7.CAPM и WACC

Ответ: r_m = 6 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Рыночная премия за риск

r_m − r_f = (8,7% − 1,5%)/1,6 = 4,5%

Доходность рынка

r_m = 1,5% + 4,5% = 6%

Ответ

r_m = 6%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,215 %

Рыночные стоимости

E = 1 000 000·€13,00 = €13 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,8·4,5% = 10,6%

Веса

V = €34 000 000, E/V = 0,3824, D/V = 0,6176

WACC

WACC = 0,3824·10,6% + 0,6176·5%·(1 − 0,3) = 6,215%

Ответ

WACC = 6,215%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 15,88

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 162/5 = 32,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 9,6² + (−4,4)² + (−7,4)² + 21,6² + (−19,4)² = 1009

Стандартное отклонение

s = √(1009/4) = 15,88

Ответ

s = 15,88

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,3446

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблица нормального распределения

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Ответ

P = 0,3446

11.Вероятность

Ответ: N = 286

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(13, 3) = (13·12·11)/(3·2·1) = 286

Ответ

N = 286

12.Вероятность

Ответ: P = 0,2734

Формула Бернулли

P(X = 4) = 70·0,5⁴·0,5⁴ = 70·0,0625·0,0625 = 0,2734

Ответ

P = 0,2734

13.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,71

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,5223)/2 = 0,7611

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,7611 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,71

Ответ

z = 0,71

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 70,2 баллов

Площадь слева

Φ(z) = 0,7

z из таблицы

z ≈ 0,52

Возврат к исходным единицам

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 баллов

Ответ

x = 70,2 баллов

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 5,219

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Предельная ошибка

E = 1,729·13,5/√20 = 5,219

Ответ

E = 5,219

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 5973

Выразите n

n = (2,576·15/0,5)² = 5972

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 5973

Ответ

n = 5973

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,201

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Статистика критерия

t = (70,11 − 75)/2,222 = −2,201

Ответ

t = −2,201

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 62

Выразите n

n = (1,96·8/2)² = 61,47

Округлите вверх

n = 62

Ответ

n = 62

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9956

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 687/6 = 114,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 359

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1858

Коэффициент корреляции

r = 359/√(70·1858) = 0,9956

Ответ

r = 0,9956

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 12,86

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 108/6 = 18

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180

Линия регрессии

b = 180/70 = 2,571

a = 18 − 2,571·7 = 0

ŷ = 0 + 2,571·x

Прогноз

ŷ = 0 + 2,571·5 = 12,86

Ответ

ŷ = 12,86

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income