Вы инвестируете €8 000 под номинальную ставку 5 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 3 лет.
PV = €8 0005% / 12n = 3
FV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Вы вносите €2 500 в начале каждого года в течение 25 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 5 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 25? Найдите FV.
A = €2 500i = 5%n = 25
FV = €
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €34 000, €33 000, €29 000, €16 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект стоит €200 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €33 500 и растёт на 5 % в год до последнего денежного потока в конце года 6. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €200 000CF1 = €33 500g = 5%n = 6r = 8%
NPV = €
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4% и погашается через 15 лет. Её доходность к погашению меняется с 3% до 1%. На сколько ΔP изменится цена облигации?
F = €1 000купон = 4%n = 15y1 = 3%y2 = 1%
ΔP = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация со сроком до погашения 16 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 8%) продаётся за €1 202. Эмитент может досрочно погасить её через 3 лет по цене отзыва €1 080. Найдите доходность к отзыву YTC в процентах.
F = €1 000купон = 8%P = €1 202цена отзыва = €1 080отзыв через 3 годы
YTC = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €6 000 000 и долг стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 10%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 28%. Найдите WACC.
У компании 2 500 000 акций по €17,50 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €960 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 25%. Бета акции — 0,6, безрисковая ставка — 2,5%, доходность рынка — 7,5%. Найдите WACC.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 12. Найдите z-оценку z для результата 94.
μ = 100σ = 12x = 94
z =
11.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
σ =
12.ВероятностьСложная
В тесте 5 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,7, независимо. Какова вероятность P ровно 4 верных ответов?
n = 5p = 0,7k = 4
P =
13.Нормальное распределениеСредняя
Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 490 и 582 h? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 500σ = 40x1 = 490x2 = 582
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 10% были слева от неё. Найдите границу x.
μ = 65 балловσ = 10 баллов10%
x = баллов
15.Доверительные интервалыСредняя
У 20 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −9,2 и стандартное отклонение 3,5. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для средней разности.
n = 20d̄ = −9,2sd = 3,599%t(19) = 2,861
E = mmHg
16.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 10. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?
σ = 10E = 2,595%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 500; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 12. Случайная выборка из 64 наблюдений имеет среднее 502,07. Проверьте H₀: μ = 500 против H₁: μ > 500. Найдите p-значение p.
μ₀ = 500σ = 12n = 64x̄ = 502,07H₁: μ > μ₀
p =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 49 измерений имеет среднее 119,1. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 5. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 119,1σ = 5n = 4999%
L =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 29,5.
n = 6x = 29,5
ŷ =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: FV = 9292 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Коэффициент обычного аннуитета
((1 + 0,05)25 − 1)/0,05 = 47,73
Аннуитет пренумерандо
Каждый взнос инвестирован на год дольше.
FV = 2 500·47,73·1,05 = €125 283,63
Ответ
FV = €125 283,63
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = 12474 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 34 000/1,12 = 30 357,14
CF2/(1 + 0,12)2 = 33 000/1,254 = 26 307,40
CF3/(1 + 0,12)3 = 29 000/1,405 = 20 641,63
CF4/(1 + 0,12)4 = 16 000/1,574 = 10 168,29
Сложите
NPV = €12 474,46
Ответ
NPV = €12 474,46
NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: NPV = −26344 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: ΔP = 296,6 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
1202 = 80·(1 − (1 + y)−3)/y + 1080/(1 + y)3
Численное решение
y = 3%: €1 214,64
y = 4%: €1 182,12
YTC = 3,384%
Ответ
YTC = 3,384%
Доходность к погашению равна 6,001%. Инвесторы в облигацию, торгующуюся с премией, ожидают её отзыва, поэтому более низкая доходность к отзыву реалистичнее.
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 7,008 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·10% + 0,4·3,5%·(1 − 0,28) = 7,008%
Ответ
WACC = 7,008%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 5,033 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (94 − 100)/12 = −0,5
Ответ
z = −0,5
11.Вероятность
Ответ: σ = 0,8047
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Среднее
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05
Среднее квадратов
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75
Дисперсия
Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
Ответ
σ = 0,8047
12.Вероятность
Ответ: P = 0,3601
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Формула Бернулли
P(X = 4) = 5·0,74·0,31 = 5·0,2401·0,3 = 0,3601
Ответ
P = 0,3601
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,5785
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (490 − 500)/40 = −0,25
z₂ = (582 − 500)/40 = 2,05
Площадь между
P = Φ(2,05) − Φ(−0,25) = 0,9798 − 0,4013 = 0,5785
Ответ
P = 0,5785
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 52,2 баллов
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,1
z из таблицы
z ≈ −1,28
Возврат к исходным единицам
x = 65 − 1,28·10 = 52,2 баллов
Ответ
x = 52,2 баллов
15.Доверительные интервалы
Ответ: E = 2,239 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 19, t = 2,861
Предельная ошибка
E = 2,861·3,5/√20 = 2,239
Ответ
E = 2,239 mmHg
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 62
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·10/2,5)² = 61,47
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 62
Ответ
n = 62
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: p = 0,08379
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерия
SE = σ/√n = 12/√64 = 1,5
z = (502,07 − 500)/1,5 = 1,38
Площадь хвоста
Φ(1,38) = 0,9162
1 − Φ(1,38) = 0,0838
p-значение
p = 0,08379
Ответ
p = 0,08379
p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: L = 117,3
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 2,576·5/√49 = 1,84
Граница интервала
L = 119,1 − 1,84 = 117,3
Ответ
L = 117,3
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,99
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 10696 − 110·479/5 = 158
Sxx = 2460 − 110²/5 = 40
Syy = 46525 − 479²/5 = 636,8
Коэффициент корреляции
r = 158/√(40·636,8) = 0,99
Ответ
r = 0,99
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 148,6
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 685/6 = 114,2
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 904,5
Линия регрессии
b = 904,5/157,5 = 5,743
a = 114,2 − 5,743·23,5 = −20,79
ŷ = −20,79 + 5,743·x
Прогноз
ŷ = −20,79 + 5,743·29,5 = 148,6
Ответ
ŷ = 148,6
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.