Через 4 лет вам нужно €40 000. Счёт даёт 2 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.
FV = €40 0002% / 12n = 4
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €25 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 4 лет. Ставка — 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.
P = €25 0004,2% / 12N = 48
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €4 000, €7 000, €8 000. Стоимость капитала — 5 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект стоит €20 000 и приносит €9 500, €14 500, €10 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −20 000CF1 = 9 500CF2 = 14 500CF3 = 10 000
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 5% и погашается через 15 лет. Её доходность к погашению меняется с 6% до 8%. На сколько ΔP изменится цена облигации?
F = €1 000купон = 5%n = 15y1 = 6%y2 = 8%
ΔP = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 6% погашается через 4 лет и продаётся за €950. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 6%n = 4P = €950
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
Акция с бетой 1,25 имеет требуемую доходность 8,75%. Безрисковая ставка — 2,5%. Какую ожидаемую доходность рынка rm подразумевает CAPM?
β = 1,25re = 8,75%rf = 2,5%
rm = %
8.CAPM и WACCСложная
Бета акций компании равна 1,2 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,4. Компания планирует увеличить это соотношение до 1,25. Ставка налога — 25,8%, безрисковая ставка — 1,5%, рыночная премия за риск — 5,5%. Найдите стоимость собственного капитала re после изменения.
Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 100. Какая доля P значений меньше 600?
μ = 500σ = 100x = 600
P =
11.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,35, 0,2, 0,35
σ =
12.ВероятностьСложная
В тесте 6 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,1, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?
n = 6p = 0,1k = 2
P =
13.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,4647. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,4647
z =
14.Нормальное распределениеСложная
Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 25 % значений (25-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 25%
x = h
15.Доверительные интервалыСредняя
95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 25 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 3,2. Какой будет предельная ошибка E₂ 90 % интервала по 50 наблюдениям?
95%n₁ = 25E₁ = 3,290%n₂ = 50
E₂ =
16.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 38. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?
σ = 38E = 195%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 49 студентов имеет средний балл 49,36 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 49,36s = 5n = 49
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 65 из 100 пациентов, получавших лечение A, и 116 из 200 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 65n₁ = 100x₂ = 116n₂ = 200
z =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6Σx = 42Σy = 192Σx² = 364Σy² = 7468Σxy = 1648
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (9, 56). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 5(9, 56)
e =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 36927 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Ставка и число периодов
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·4 = 48
Приведённая стоимость
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,083 = €36 927,11
Ответ
PV = €36 927,11
2.Временная стоимость денег
Ответ: A = 566,7 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Месячная ставка и число платежей
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·4 = 48
Платёж
Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.
(1 + i)−N = 0,8456
A = 25 000·0,0035/(1 − 0,8456) = €566,72
Ответ
A = €566,72
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = −2931 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 4 000/1,05 = 3 809,52
CF2/(1 + 0,05)2 = 7 000/1,103 = 6 349,21
CF3/(1 + 0,05)3 = 8 000/1,158 = 6 910,70
Сложите
NPV = €−2 930,57
Ответ
NPV = €−2 930,57
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 31,53 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(30%) = 439,24
NPV(35%) = −942,44
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
IRR ≈ 30 + 5·439,24/(439,24 − (−942,44)) = 31,59%
точно: NPV(31,53%) = 0 → IRR = 31,53%
Ответ
IRR = 31,53%
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: ΔP = −159,7 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€950 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Численное решение
P(7%) = €966,13, P(8%) = €933,76
YTM = 7,493%
Ответ
YTM = 7,493%
7.CAPM и WACC
Ответ: rm = 7,5 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Рыночная премия за риск
rm − rf = (8,75% − 2,5%)/1,25 = 5%
Доходность рынка
rm = 2,5% + 5% = 7,5%
Ответ
rm = 7,5%
8.CAPM и WACC
Ответ: re = 11,31 %
Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), где βU — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.
Бета без учёта долга
βU = 1,2/(1 + 0,742·0,4) = 0,9254
Пересчёт при новом D/E
βL = 0,9254·(1 + 0,742·1,25) = 1,784
Стоимость собственного капитала (CAPM)
re = 1,5% + 1,784·5,5% = 11,31%
Ответ
re = 11,31%
9.Описательная статистика
Ответ: s = 10,67
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1
Таблица нормального распределения
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Ответ
P = 0,8413
11.Вероятность
Ответ: σ = 2,059
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Среднее
μ = 0·0,1 + 2·0,35 + 4·0,2 + 6·0,35 = 3,6
Среднее квадратов
E(X²) = 0·0,1 + 4·0,35 + 16·0,2 + 36·0,35 = 17,2
Дисперсия
Var(X) = 17,2 − 3,6² = 4,24
σ = √4,24 = 2,059
Ответ
σ = 2,059
12.Вероятность
Ответ: P = 0,09842
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = (1 + 0,4647)/2 = 0,7324
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,7324 внутри таблицы и считайте z.
z = 0,62
Ответ
z = 0,62
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 473 h
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Обратно к x
x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h
Ответ
x = 473,02 h
15.Доверительные интервалы
Ответ: E₂ = 1,899
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Отношение предельных ошибок
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(25/50) = 0,5935
Новая предельная ошибка
E₂ = 3,2·0,5935 = 1,899
Ответ
E₂ = 1,899
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 5548
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·38/1)² = 5547
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 5548
Ответ
n = 5548
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −0,896
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143
Статистика критерия
t = (49,36 − 50)/0,7143 = −0,896
Ответ
t = −0,896
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = 1,168
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 65/100 = 0,65
p̂₂ = 116/200 = 0,58
p̂ = 181/300 = 0,6033
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,6033·0,3967·(1/100 + 1/200)) = 0,05992
Статистика критерия
z = (0,65 − 0,58)/0,05992 = 1,168
Ответ
z = 1,168
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9986
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 1648 − 42·192/6 = 304
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 7468 − 192²/6 = 1324
Коэффициент корреляции
r = 304/√(70·1324) = 0,9986
Ответ
r = 0,9986
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = −5,05
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 246/5 = 49,2
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158
Линия регрессии
b = 158/40 = 3,95
a = 49,2 − 3,95·6 = 25,5
ŷ = 25,5 + 3,95·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 25,5 + 3,95·9 = 61,05
Остаток
e = 56 − 61,05 = −5,05
Ответ
e = −5,05
Точка лежит ниже прямой.
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.