Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 17,5 % годовых с полугодовой капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.
r = 17,5%m = 2
EAR = %
2.Временная стоимость денегСложная
Ипотечный кредит €250 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 30 лет под 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 10? Найдите остаток долга B.
P = €250 0003,6% / 12N = 360k = 120
B = €
3.NPV и IRRСредняя
Станок стоит €60 000 сегодня. Он приносит €13 500 в конце каждого года в течение 6 лет, а затем может быть продан за €12 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €60 000CF = €13 500S = €12 000n = 6r = 6%
NPV = €
4.NPV и IRRСложная
Проект A стоит €10 000 и приносит €5 500, €4 000, €2 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Проект B стоит €12 000 и приносит €3 000, €5 000, €6 000. Найдите точку Фишера (ставку пересечения) r*, при которой оба проекта имеют одинаковую NPV, в процентах.
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 8%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 3 лет. Доходность к погашению — 7% годовых. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 8%YTM = 7%n = 3
P = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 выплачивает годовой купон 8% двумя полугодовыми платежами и погашается через 5 лет. Она продаётся за €1 131. Найдите её доходность к погашению YTM как годовую ставку (удвоенная полугодовая доходность) в процентах.
F = €1 000купон = 8% (2×)n = 5P = €1 131
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €6 000 000 и долг стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 9%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.
E = €6 000 000D = €4 000 000re = 9%rd = 4%T = 21%
WACC = %
8.CAPM и WACCСложная
Бета акций компании равна 1,2 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,25. Компания планирует увеличить это соотношение до 1,5. Ставка налога — 25%, безрисковая ставка — 4%, рыночная премия за риск — 4,5%. Найдите стоимость собственного капитала re после изменения.
Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений меньше 100?
μ = 70σ = 15x = 100
P =
11.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,15, 0,3, 0,35
Var(X) =
12.ВероятностьСложная
В тесте 10 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,6, независимо. Какова вероятность P ровно 4 верных ответов?
n = 10p = 0,6k = 4
P =
13.Нормальное распределениеСредняя
Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 16 из них превышает 399 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16> 399 kg
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 25% были справа от неё. Найдите границу x.
μ = 500 hσ = 40 h25%
x = h
15.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 25 элементов имеет среднее 117,5 и стандартное отклонение s = 10. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 25x̄ = 117,5s = 1095%t(24) = 2,064
E =
16.Доверительные интервалыСложная
О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,025?
p = 0,5E = 0,02595%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 36 студентов имеет средний балл 73,5 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 73,5s = 5n = 36
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 25 измерений имеет среднее 509,6. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 509,6σ = 20n = 2599%
L =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 6). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 5(3, 6)
e =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: EAR = 18,27 %
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Ставка за период
r/m = 0,175/2 = 0,0875
Наращение за один год
EAR = (1 + 0,0875)2 − 1 = 1,183 − 1 = 18,27%
Ответ
EAR = 18,27%
Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.
2.Временная стоимость денег
Ответ: B = 194256 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.
N − k = 360 − 120 = 240
B = 1137·(1 − (1 + 0,003)−240)/0,003 = €194 255,87
Ответ
B = €194 255,87
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = 14843 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков
13 500·4,917 = 66 383,88
Приведённая стоимость ликвидационной стоимости
12 000/1,419 = 8 459,53
NPV
NPV = −60 000 + 66 383,88 + 8 459,53 = €14 843,40
Ответ
NPV = €14 843,40
4.NPV и IRR
Ответ: r* = 4,802 %
Ставка пересечения (точка Фишера): ставка дисконтирования, при которой два проекта имеют одинаковую NPV. Это IRR разности их денежных потоков (B − A). Ниже неё больше NPV у проекта с более поздними и крупными денежными потоками; выше неё выигрывает другой.
Разность денежных потоков
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 5 500 = −2 500
ΔCF2 = 5 000 − 4 000 = 1 000
ΔCF3 = 6 000 − 2 000 = 4 000
IRR разности
NPVΔ(4%) = 76,70
NPVΔ(5%) = −18,57
r* = 4,802%
Ответ
r* = 4,802%
Проверка: при 4,802% обе NPV равны €627,35.
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: P = 1027 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €40,00, i = 0,035, N = 6
Приведённая стоимость купонов
€40,00·(1 − 0,8135)/0,035 = €213,14
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,8135 = €813,50
Цена
P = €1 026,64
Ответ
P = €1 026,64
Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: YTM = 5,006 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €40,00, N = 10
Численное решение
i = 2,503% за полгода
YTM
YTM = 2·2,503% = 5,006%
Ответ
YTM = 5,006%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 6,664 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·9% + 0,4·4%·(1 − 0,21) = 6,664%
Ответ
WACC = 6,664%
8.CAPM и WACC
Ответ: re = 13,66 %
Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), где βU — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.
Бета без учёта долга
βU = 1,2/(1 + 0,75·0,25) = 1,011
Пересчёт при новом D/E
βL = 1,011·(1 + 0,75·1,5) = 2,147
Стоимость собственного капитала (CAPM)
re = 4% + 2,147·4,5% = 13,66%
Ответ
re = 13,66%
9.Описательная статистика
Ответ: s = 9,968
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 2
Таблица нормального распределения
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Ответ
P = 0,9772
11.Вероятность
Ответ: Var(X) = 5,04
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Среднее
μ = 0·0,2 + 2·0,15 + 4·0,3 + 6·0,35 = 3,6
Среднее квадратов
E(X²) = 0·0,2 + 4·0,15 + 16·0,3 + 36·0,35 = 18
Дисперсия
Var(X) = 18 − 3,6² = 5,04
Ответ
Var(X) = 5,04
12.Вероятность
Ответ: P = 0,1115
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μT = 400 kg, σT = 0,5·√16 = 2 kg
Стандартизуйте
z = (399 − 400)/2 = −0,5
Вероятность
P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915
Ответ
P = 0,6915
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 527 h
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,75
z из таблицы
z ≈ 0,67
Возврат к исходным единицам
x = 500 + 0,67·40 = 527 h
Ответ
x = 527 h
15.Доверительные интервалы
Ответ: E = 4,128
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Предельная ошибка
E = 2,064·10/√25 = 4,128
Ответ
E = 4,128
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 1537
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Выразите n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537
Округлите вверх
n = 1537
Ответ
n = 1537
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −1,8
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333
Статистика критерия
t = (73,5 − 75)/0,8333 = −1,8
Ответ
t = −1,8
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: L = 499,3
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 2,576·20/√25 = 10,3
Граница интервала
L = 509,6 − 10,3 = 499,3
Ответ
L = 499,3
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9173
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 1803 − 33·315/6 = 70,5
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 16875 − 315²/6 = 337,5
Коэффициент корреляции
r = 70,5/√(17,5·337,5) = 0,9173
Ответ
r = 0,9173
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = −1,85
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 61/5 = 12,2
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58
Линия регрессии
b = 58/40 = 1,45
a = 12,2 − 1,45·6 = 3,5
ŷ = 3,5 + 1,45·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 3,5 + 1,45·3 = 7,85
Остаток
e = 6 − 7,85 = −1,85
Ответ
e = −1,85
Точка лежит ниже прямой.
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.