Аннуитет выплачивает €500 в конце каждого года в течение 11 лет. Процентная ставка — 6 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.
A = €500i = 6%n = 11
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €200 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 20 лет. Ставка — 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.
P = €200 0004,2% / 12N = 240
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Проект стоит €30 000 сегодня и приносит €11 000, €8 500, €8 000, €8 000, €12 500, €12 000 в конце годов с 1-го по 6-й. Стоимость капитала — 12 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.
Проект стоит €25 000 и приносит €13 000, €14 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −25 000CF1 = 13 000CF2 = 14 000
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 11 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 4,5%) при доходности к погашению 6%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 5,5%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.
F = €1 000купон = 4,5%n = 11y0 = 6%y1 = 5,5%
HPR = %
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 выплачивает годовой купон 2% двумя полугодовыми платежами и погашается через 5 лет. Она продаётся за €792. Найдите её доходность к погашению YTM как годовую ставку (удвоенная полугодовая доходность) в процентах.
F = €1 000купон = 2% (2×)n = 5P = €792
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €12 000 000 и долг стоимостью €1 000 000. Стоимость собственного капитала — 12%, стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.
Рыночная стоимость собственного капитала компании — €12 000 000, стоимость собственного капитала — 10%. Её долг состоит из 8 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 6%, 11 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €925. Ставка налога — 20%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 162,5.
μ = 170σ = 15x = 162,5
z =
11.ВероятностьСредняя
Правильный кубик бросают 6 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?
n = 6
P =
12.ВероятностьСложная
Игра стоит €2. Вы выигрываете €8 с вероятностью 0,15 и €20 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.
ставка = €2€8: p = 0,15€20: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальное распределениеСредняя
Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 82,75 и 127,75 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 100σ = 15x1 = 82,75x2 = 127,75
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,03 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.
отверстие: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 30 элементов имеет среднее 119,5 и стандартное отклонение s = 2. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 30x̄ = 119,5s = 299%t(29) = 2,756
верхняя граница =
16.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 11 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 7,2 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 10 2,5 % распределения χ² лежит ниже 3,247 и 2,5 % — выше 20,483.
n = 11s = 7,2 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 16 студентов имеет средний балл 38,38 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 38,38s = 15n = 16
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ > 100 проводится при α = 0,10 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 5. В действительности среднее равно 100,8. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.
μ₀ = 100μ = 100,8σ = 5n = 100α = 0,10
1 − β = %
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 25,5.
n = 5x = 25,5
ŷ =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 3943 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Коэффициент аннуитета
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5268)/0,06 = 7,887
Приведённая стоимость
PV = 500·7,887 = €3 943,44
Ответ
PV = €3 943,44
2.Временная стоимость денег
Ответ: A = 1233 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Месячная ставка и число платежей
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·20 = 240
Платёж
Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.
(1 + i)−N = 0,4323
A = 200 000·0,0035/(1 − 0,4323) = €1 233,14
Ответ
A = €1 233,14
3.NPV и IRR
Ответ: DPB = 4,37 годы
Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.
Дисконтированные и накопленные денежные потоки
год 1: 11 000/1,12 = 9 821,43 → Σ = 9 821,43
год 2: 8 500/1,254 = 6 776,15 → Σ = 16 597,58
год 3: 8 000/1,405 = 5 694,24 → Σ = 22 291,82
год 4: 8 000/1,574 = 5 084,14 → Σ = 27 375,96
год 5: 12 500/1,762 = 7 092,84 → Σ = 34 468,80
Доля последнего года
DPB = 4 + 2 624,04/7 092,84 = 4,37
Ответ
DPB = 4,37 годы
Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,313 лет).
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 5,221 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(5%) = 79,37
NPV(10%) = −1 611,57
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
IRR ≈ 5 + 5·79,37/(79,37 − (−1 611,57)) = 5,235%
точно: NPV(5,221%) = 0 → IRR = 5,221%
Ответ
IRR = 5,221%
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: HPR = 9,972 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €10,00, N = 10
Численное решение
i = 3,501% за полгода
YTM
YTM = 2·3,501% = 7,002%
Ответ
YTM = 7,002%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 11,48 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Стоимость долга (YTM)
925 = 60·(1 − (1 + y)−11)/y + 1000/(1 + y)11
y = 7%
Рыночные стоимости
D = 8 000·€925 = €7 400 000
V = €19 400 000, E/V = 0,6186, D/V = 0,3814
WACC
WACC = 0,6186·10% + 0,3814·7%·(1 − 0,2) = 8,322%
Ответ
WACC = 8,322%
9.Описательная статистика
Ответ: s = 18,52
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (162,5 − 170)/15 = −0,5
Ответ
z = −0,5
11.Вероятность
Ответ: P = 0,6651
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Противоположное событие
P(нет шестёрки) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Ответ
P = 0,6651
12.Вероятность
Ответ: E(G) = −0,6 €
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Чистые исходы
G: 6 (p = 0,15), 18 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)
Математическое ожидание
E(G) = 6·0,15 + 18·0,01 − 2·0,84 = −0,6 €
Ответ
E(G) = −0,6 €
Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,8428
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (82,75 − 100)/15 = −1,15
z₂ = (127,75 − 100)/15 = 1,85
Площадь между
P = Φ(1,85) − Φ(−1,15) = 0,9678 − 0,1251 = 0,8428
Ответ
P = 0,8428
14.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,9515
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение разности
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66
Вероятность
P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515
Ответ
P = 0,9515
15.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 120,5
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 29, t = 2,756
Предельная ошибка
E = 2,756·2/√30 = 1,006
Интервал
119,5 ± 1,006 → [118,5, 120,5]
Ответ
верхняя граница = 120,5
16.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 12,64 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 10·7,2² = 518,4
Границы для σ²
518,4/20,483 = 25,31
518,4/3,247 = 159,7
Граница для σ
σ = √159,7 = 12,64 µm
Ответ
σ = 12,64 µm
95 % интервал для σ: [5,031, 12,64] µm.
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −3,099
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75
Статистика критерия
t = (38,38 − 50)/3,75 = −3,099
Ответ
t = −3,099
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: 1 − β = 62,48 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критическое выборочное среднее
SE = 5/√100 = 0,5
x̄c = 100 + 1,282·0,5 = 100,6
z при истинном среднем
z = (100,6 − 100,8)/0,5 = −0,318
Мощность
мощность = P(Z > −0,318) = 62,48%
1 − β = 62,48%
Ответ
1 − β = 62,48%
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9799
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 339/6 = 56,5
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 313
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1458
Коэффициент корреляции
r = 313/√(70·1458) = 0,9799
Ответ
r = 0,9799
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 103,5
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 488/5 = 97,6
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 357
Линия регрессии
b = 357/90 = 3,967
a = 97,6 − 3,967·24 = 2,4
ŷ = 2,4 + 3,967·x
Прогноз
ŷ = 2,4 + 3,967·25,5 = 103,5
Ответ
ŷ = 103,5
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.