CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €12 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 3 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 9 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.

C₁ = €12 000g = 3%r = 9%

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €150 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 20 лет под 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?

P = €150 0003% / 12N = 240

I = €

3.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €200 000 сегодня. Он приносит €13 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 1 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €13 000g = 1%r = 9%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €13 000, €14 500, €21 500, €22 500 в конце годов с 1-го по 4-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 12 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 12%CF₀ = −40 000CF₁ = 13 000CF₂ = 14 500CF₃ = 21 500CF₄ = 22 500

MIRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 12 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 4%) при доходности к погашению 3%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 2,5%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.

F = €1 000купон = 4%n = 12y₀ = 3%y₁ = 2,5%

HPR = %

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 8% погашается через 6 лет и продаётся за €895. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 8%n = 6P = €895

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €4 000 000 и долг стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 14%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 20%. Найдите WACC.

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 14%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 4 000 000 акций по €58,50 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 28%. Бета акции — 0,9, безрисковая ставка — 1%, доходность рынка — 5%. Найдите WACC.

β = 0,9r_f = 1%r_m = 5%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 56, 26, 50, 48, 37.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 60. Найдите z-оценку z для результата 560.

μ = 500σ = 60x = 560

z =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,15, 0,3, 0,2, 0,25

Var(X) =

12.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 2X + 4. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,1, 0,3, 0,35Y = 2X + 4

σ_Y =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 245 и 256,25 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 245x₂ = 256,25

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 80% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов80%

x = баллов

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 21 элементов имеет среднее 104,5 и стандартное отклонение s = 17. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 21x̄ = 104,5s = 1799%t(20) = 2,845

верхняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 6. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?

σ = 6E = 295%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 117,4 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117,4s = 20n = 49

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 49 измерений имеет среднее 496,6. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 10. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 496,6σ = 10n = 4999%

L =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (7, 84). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(7, 84)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 200000 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Растущая бессрочная рента

PV = C₁/(r − g) = 12 000/(0,09 − 0,03) = 12 000/0,06 = €200 000,00

Ответ

PV = €200 000,00

2.Временная стоимость денег

Ответ: I = 49655 €

Ежемесячный платёж

i = 0,0025, N = 240

A = 150 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻²⁴⁰) = €831,90

Всего процентов

I = N·A − P = 240·831,9 − 150 000 = €49 655,14

Ответ

I = €49 655,14

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −37500 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 13 000/(0,09 − 0,01) = 162 500,00

NPV

NPV = 162 500,00 − 200 000 = −€37 500,00

Ответ

NPV = −€37 500,00

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 20,03 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

13 000·1,12³ = 18 264,06

14 500·1,12² = 18 188,80

21 500·1,12¹ = 24 080,00

22 500·1,12⁰ = 22 500,00

TV = 83 032,86

MIRR

MIRR = (83 032,86/40 000)^1/4 − 1 = 20,03%

Ответ

MIRR = 20,03%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: HPR = 7,564 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена покупки

C = €40,00, i = 0,03, N = 12

€40,00·(1 − 0,7014)/0,03 + €1 000·0,7014 = €398,16 + €701,38 = €1 099,54

Цена продажи

C = €40,00, i = 0,025, N = 11

€40,00·(1 − 0,7621)/0,025 + €1 000·0,7621 = €380,57 + €762,14 = €1 142,71

Доходность за период владения

HPR = (40 + 1 142,71 − 1 099,54)/1 099,54 = 7,564%

Ответ

HPR = 7,564%

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 10,44 %

Уравнение для доходности

€895 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Численное решение

P(10%) = €912,89, P(11%) = €873,08

YTM = 10,44%

Ответ

YTM = 10,44%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,2 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·14% + 0,4286·3,5%·(1 − 0,2) = 9,2%

Ответ

WACC = 9,2%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 4,578 %

Рыночные стоимости

E = 4 000 000·€58,50 = €234 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1% + 0,9·4% = 4,6%

Веса

V = €239 250 000, E/V = 0,9781, D/V = 0,02194

WACC

WACC = 0,9781·4,6% + 0,02194·5%·(1 − 0,28) = 4,578%

Ответ

WACC = 4,578%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 11,91

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 217/5 = 43,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 12,6² + (−17,4)² + 6,6² + 4,6² + (−6,4)² = 567,2

Стандартное отклонение

s = √(567,2/4) = 11,91

Ответ

s = 11,91

10.Описательная статистика

Ответ: z = 1

Стандартизуйте

z = (560 − 500)/60 = 1

Ответ

z = 1

11.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,628

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,1 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,2 + 5·0,25 = 3,35

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,2 + 25·0,25 = 12,85

Дисперсия

Var(X) = 12,85 − 3,35² = 1,628

Ответ

Var(X) = 1,628

12.Вероятность

Ответ: σ_Y = 23,56

Разброс X

μ = 27,5, Var(X) = 138,8, σ_X = 11,78

Линейное преобразование

σ_Y = |2|·11,78 = 23,56

Ответ

σ_Y = 23,56

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 2·27,5 + 4 = 59.

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7357

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (245 − 250)/5 = −1

z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25

Площадь между

P = Φ(1,25) − Φ(−1) = 0,8944 − 0,1587 = 0,7357

Ответ

P = 0,7357

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 87,4 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,2

z из таблицы

z ≈ −0,84

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 0,84·15 = 87,4 баллов

Ответ

x = 87,4 баллов

15.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 115,1

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Предельная ошибка

E = 2,845·17/√21 = 10,55

Интервал

104,5 ± 10,55 → [93,95, 115,1]

Ответ

верхняя граница = 115,1

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 35

Выразите n

n = (1,96·6/2)² = 34,57

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 35

Ответ

n = 35

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −0,91

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857

Статистика критерия

t = (117,4 − 120)/2,857 = −0,91

Ответ

t = −0,91

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 492,9

Предельная ошибка

E = 2,576·10/√49 = 3,68

Граница интервала

L = 496,6 − 3,68 = 492,9

Ответ

L = 492,9

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9976

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 161/6 = 26,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 235

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 790,8

Коэффициент детерминации

r² = 235²/(70·790,8) = 0,9976

Ответ

r² = 0,9976

Прямая объясняет около 99,76% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −1,5

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 398/5 = 79,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236

Линия регрессии

b = 236/40 = 5,9

a = 79,6 − 5,9·6 = 44,2

ŷ = 44,2 + 5,9·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 44,2 + 5,9·7 = 85,5

Остаток

e = 84 − 85,5 = −1,5

Ответ

e = −1,5

Точка лежит ниже прямой.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income