Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €2 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 1,5 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 3,5 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €2 000g = 1,5%r = 3,5%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Ипотечный кредит €250 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 25 лет под 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 6? Найдите остаток долга B.
P = €250 0003% / 12N = 300k = 72
B = €
3.NPV и IRRСредняя
Проект стоит €400 000 сегодня. Он приносит €34 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 2 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €400 000CF1 = €34 000g = 2%r = 9%
NPV = €
4.NPV и IRRСложная
Проект стоит €50 000 и приносит €34 500, €21 500, €32 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −50 000CF1 = 34 500CF2 = 21 500CF3 = 32 500
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 7%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 6 лет. Доходность к погашению — 4% годовых. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 7%YTM = 4%n = 6
P = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 4% погашается через 6 лет и продаётся за €1 055. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 4%n = 6P = €1 055
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €12 000 000 и долг стоимостью €1 000 000. Стоимость собственного капитала — 12%, стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 20%. Найдите WACC.
У компании 2 000 000 акций по €50,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €1 000 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 25%. Бета акции — 1,8, безрисковая ставка — 1,5%, доходность рынка — 7%. Найдите WACC.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 120.
μ = 100σ = 20x = 120
z =
11.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 6 человек? Порядок не важен.
n = 6k = 4
N =
12.ВероятностьСложная
Испытывают 7 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,3. Какова вероятность P, что откажет не более одного?
n = 7p = 0,3
P =
13.Нормальное распределениеСредняя
X нормальна со средним 120 mm и стандартным отклонением 0,3 mm; Y независима и нормальна со средним 80 mm и стандартным отклонением 0,4 mm. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 200,8 mm. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,8 mm
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 5%
x = баллов
15.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 60 телефонов, среднее 92 h, известное стандартное отклонение 12 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 94,5 h, известное стандартное отклонение 13 h. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 25 студентов имеет средний балл 497,5 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 497,5s = 4n = 25
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 36 измерений имеет среднее 122,7. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 122,7σ = 20n = 3690%
L =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 29?
n = 6ŷ = 29
x =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 100000 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.
N − k = 300 − 72 = 228
B = 1186·(1 − (1 + 0,0025)−228)/0,0025 = €205 841,93
Ответ
B = €205 841,93
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = 85714 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Стоимость денежных потоков
PV = 34 000/(0,09 − 0,02) = 485 714,29
NPV
NPV = 485 714,29 − 400 000 = €85 714,29
Ответ
NPV = €85 714,29
NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 35,86 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(35%) = 561,91
NPV(40%) = −2 543,73
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €35,00, i = 0,02, N = 12
Приведённая стоимость купонов
€35,00·(1 − 0,7885)/0,02 = €370,14
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,7885 = €788,49
Цена
P = €1 158,63
Ответ
P = €1 158,63
Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: YTM = 2,985 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€1 055 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Численное решение
P(2%) = €1 112,03, P(3%) = €1 054,17
YTM = 2,985%
Ответ
YTM = 2,985%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 11,38 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €13 000 000, E/V = 0,9231, D/V = 0,07692
WACC
WACC = 0,9231·12% + 0,07692·5%·(1 − 0,2) = 11,38%
Ответ
WACC = 11,38%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 9,643 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (120 − 100)/20 = 1
Ответ
z = 1
11.Вероятность
Ответ: N = 15
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15
Ответ
N = 15
12.Вероятность
Ответ: P = 0,3294
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Ноль и один отказ
P(X = 0) = 0,77 = 0,08235
P(X = 1) = 7·0,3·0,76 = 0,2471
Сложите
P = 0,08235 + 0,2471 = 0,3294
Ответ
P = 0,3294
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,0548
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Стандартизуйте
z = (200,8 − 200)/0,5 = 1,6
Верхний хвост
P = 1 − Φ(1,6) = 1 − 0,9452 = 0,0548
Ответ
P = 0,0548
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 48,55 баллов
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Обратно к x
x = 65 + −1,645·10 = 48,55 баллов
Ответ
x = 48,55 баллов
15.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 2,71 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 92 − 94,5 = −2,5
Стандартная ошибка
SE = √(12²/60 + 13²/100) = 2,022
Предельная ошибка
E = 2,576·2,022 = 5,21
Интервал
−2,5 ± 5,21 → [−7,71, 2,71]
Ответ
верхняя граница = 2,71 h
Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.
16.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 1,925 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (5·2² + 9·7,5²)/14 = 37,59
sp = 6,131
Предельная ошибка
E = 1,761·6,131·√(1/6 + 1/10) = 5,575
Интервал
7,5 ± 5,575 → [1,925, 13,08]
Ответ
нижняя граница = 1,925 kg
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −3,125
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8
Статистика критерия
t = (497,5 − 500)/0,8 = −3,125
Ответ
t = −3,125
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: L = 117,2
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 1,645·20/√36 = 5,483
Граница интервала
L = 122,7 − 5,483 = 117,2
Ответ
L = 117,2
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,9542
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 154/6 = 25,67
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36
Syy = Σ(y − ȳ)² = 81,33
Коэффициент корреляции
r = −36/√(17,5·81,33) = −0,9542
Ответ
r = −0,9542
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 10,8
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 118/6 = 19,67
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172
Линия регрессии
b = 172/70 = 2,457
a = 19,67 − 2,457·7 = 2,467
ŷ = 2,467 + 2,457·x
Найдите x
x = (29 − 2,467)/2,457 = 10,8
Ответ
x = 10,8
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.