CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €8 000 под номинальную ставку 5 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 2 лет.

PV = €8 0005% / 4n = 2

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €15 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 7 лет под 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?

P = €15 0003% / 12N = 84

I = €

3.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €60 000 сегодня. Он приносит €17 500 в конце каждого года в течение 4 лет, а затем может быть продан за €15 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €60 000CF = €17 500S = €15 000n = 4r = 6%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €16 000, €11 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 000CF₂ = 11 000

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4,5% и погашается через 9 лет. Её доходность к погашению меняется с 5,5% до 6,5%. На сколько ΔP изменится цена облигации?

F = €1 000купон = 4,5%n = 9y₁ = 5,5%y₂ = 6,5%

ΔP = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 5% и погашается через 4 лет. Доходность к погашению — 5,5%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.

F = €1 000купон = 5%n = 4YTM = 5,5%

D = годы

7.CAPM и WACCСредняя

Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €6 000 000, привилегированными акциями стоимостью €1 000 000 и долгом стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 13%, стоимость привилегированного капитала — 7,5%, стоимость долга до налогов — 3%. Ставка налога — 21%. Найдите WACC.

E = €6 000 000P_s = €1 000 000D = €3 000 000r_e = 13%r_p = 7,5%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

Бизнес компании имеет бету без учёта долга (бету активов) 0,8. Компания планирует соотношение долга и собственного капитала 0,25. Ставка налога — 25%, безрисковая ставка — 1,5%, рыночная премия за риск — 4%. Найдите стоимость собственного капитала r_e при новой структуре капитала.

β_U = 0,8D/E = 0,25T = 25%r_f = 1,5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 28, 33, 32, 58, 50.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 180.

μ = 170σ = 8x = 180

z =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,2, 0,15

Var(X) =

12.ВероятностьСложная

В тесте 11 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,1, независимо. Какова вероятность P ровно 1 верных ответов?

n = 11p = 0,1k = 1

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 88,75 и 118 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 88,75x₂ = 118

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 40 телефонов, среднее 119 h, известное стандартное отклонение 15 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 104,5 h, известное стандартное отклонение 19 h. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 119 hσ₁ = 15 hn₂ = 100x̄₂ = 104,5 hσ₂ = 19 h90%

E = h

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 28. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 28E = 1,595%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 50 деталей имеет среднюю длину 104 mm, известное стандартное отклонение линии 7 mm. Линия 2: выборка из 100 деталей имеет среднее 105,6 mm, известное стандартное отклонение 6 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 50x̄₁ = 104 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 100x̄₂ = 105,6 mmσ₂ = 6 mm

z =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 36 измерений имеет среднее 197,8. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 5. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 197,8σ = 5n = 3690%

L =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 54?

n = 6ŷ = 54

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 8836 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,05/4 = 0,0125

N = m·n = 4·2 = 8

Будущая стоимость

FV = 8 000·(1 + 0,0125)⁸ = 8 000·1,104 = €8 835,89

Ответ

FV = €8 835,89

2.Временная стоимость денег

Ответ: I = 1649 €

Ежемесячный платёж

i = 0,0025, N = 84

A = 15 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻⁸⁴) = €198,20

Всего процентов

I = N·A − P = 84·198,2 − 15 000 = €1 648,76

Ответ

I = €1 648,76

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 12521 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

17 500·3,465 = 60 639,35

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

15 000/1,262 = 11 881,40

NPV

NPV = −60 000 + 60 639,35 + 11 881,40 = €12 520,75

Ответ

NPV = €12 520,75

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 5,648 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(5%) = 215,42

NPV(10%) = −1 363,64

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 5 + 5·215,42/(215,42 − (−1 363,64)) = 5,682%

точно: NPV(5,648%) = 0 → IRR = 5,648%

Ответ

IRR = 5,648%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: ΔP = −63,6 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена при прежней доходности

C = €45,00, i = 0,055, N = 9

€45,00·(1 − 0,6176)/0,055 + €1 000·0,6176 = €312,85 + €617,63 = €930,48

Цена при новой доходности

C = €45,00, i = 0,065, N = 9

€45,00·(1 − 0,5674)/0,065 + €1 000·0,5674 = €299,52 + €567,35 = €866,88

Изменение

ΔP = 866,88 − 930,48 = −€63,60

Ответ

ΔP = −€63,60

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: D = 3,72 годы

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Приведённая стоимость каждого потока

t = 1: 50/1,055 = 47,39, t·PV = 47,39

t = 2: 50/1,113 = 44,92, t·PV = 89,85

t = 3: 50/1,174 = 42,58, t·PV = 127,74

t = 4: 1050/1,239 = 847,58, t·PV = 3 390,31

Дюрация

P = 982,47

D = 3 655,29/982,47 = 3,72

Ответ

D = 3,72 годы

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,261 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = 6 000 000 + 1 000 000 + 3 000 000 = €10 000 000

E/V = 0,6, P_s/V = 0,1, D/V = 0,3

WACC

WACC = 0,6·13% + 0,1·7,5% + 0,3·3%·(1 − 0,21) = 9,261%

Ответ

WACC = 9,261%

8.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 5,3 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета с учётом долга

β_L = 0,8·(1 + 0,75·0,25) = 0,95

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,95·4% = 5,3%

Ответ

r_e = 5,3%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 13,05

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 201/5 = 40,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−12,2)² + (−7,2)² + (−8,2)² + 17,8² + 9,8² = 680,8

Стандартное отклонение

s = √(680,8/4) = 13,05

Ответ

s = 13,05

10.Описательная статистика

Ответ: z = 1,25

Стандартизуйте

z = (180 − 170)/8 = 1,25

Ответ

z = 1,25

11.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,06

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,15 = 2,2

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,15 = 5,9

Дисперсия

Var(X) = 5,9 − 2,2² = 1,06

Ответ

Var(X) = 1,06

12.Вероятность

Ответ: P = 0,3835

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 1) = 11·0,1¹·0,9¹⁰ = 11·0,1·0,3487 = 0,3835

Ответ

P = 0,3835

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6583

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (88,75 − 100)/15 = −0,75

z₂ = (118 − 100)/15 = 1,2

Площадь между

P = Φ(1,2) − Φ(−0,75) = 0,8849 − 0,2266 = 0,6583

Ответ

P = 0,6583

14.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 4,999 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 119 − 104,5 = 14,5

Стандартная ошибка

SE = √(15²/40 + 19²/100) = 3,039

Предельная ошибка

E = 1,645·3,039 = 4,999

Ответ

E = 4,999 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1339

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·28/1,5)² = 1339

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 1339

Ответ

n = 1339

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,382

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(7²/50 + 6²/100) = √1,34 = 1,158

Статистика критерия

z = (104 − 105,6)/1,158 = −1,382

Ответ

z = −1,382

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 196,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,645·5/√36 = 1,371

Граница интервала

L = 197,8 − 1,371 = 196,4

Ответ

L = 196,4

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9797

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 372/6 = 62

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 242

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 854

Коэффициент детерминации

r² = 242²/(70·854) = 0,9797

Ответ

r² = 0,9797

Прямая объясняет около 97,97% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 16,52

Средние

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 489/6 = 81,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 724,5

Линия регрессии

b = 724,5/157,5 = 4,6

a = 81,5 − 4,6·22,5 = −22

ŷ = −22 + 4,6·x

Найдите x

x = (54 − (−22))/4,6 = 16,52

Ответ

x = 16,52

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income