CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €20 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 3 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 6 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.

C₁ = €20 000g = 3%r = 6%

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €20 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 5 лет под 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?

P = €20 0004,8% / 12N = 60

I = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €15 000, €18 000, €26 000. Стоимость капитала — 15 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 15%CF₀ = −75 000CF₁ = 15 000CF₂ = 18 000CF₃ = 26 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €18 500, €15 500 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 500CF₂ = 15 500

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 4%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 11 лет. Доходность к погашению — 3% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 4%YTM = 3%n = 11

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4% и погашается через 4 лет. Доходность к погашению — 5,5%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.

F = €1 000купон = 4%n = 4YTM = 5,5%

D = годы

7.CAPM и WACCСредняя

Соотношение заёмного и собственного капитала компании (по рыночной стоимости) равно 0,5. Стоимость её собственного капитала — 12%, стоимость долга до налогов — 7%, ставка налога — 30%. Найдите WACC.

D/E = 0,5r_e = 12%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

Рыночная стоимость собственного капитала компании — €12 000 000, стоимость собственного капитала — 13%. Её долг состоит из 4 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 4%, 10 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €1 042. Ставка налога — 20%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.

E = €12 000 000r_e = 13%облигации: 4 000 × €1 042купон = 4%n = 10T = 20%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 12, 16, 12, 59, 51, 19.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 45,6?

μ = 60σ = 12x = 45,6

P =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

12.ВероятностьСложная

Игра стоит €10. Вы выигрываете €50 с вероятностью 0,15 и €200 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €10€50: p = 0,15€200: p = 0,05

E(G) = €

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 23,3 и 36,8 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 23,3x₂ = 36,8

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 75 % значений (75-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 75%

x = баллов

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 30 элементов имеет среднее 116 и стандартное отклонение s = 17,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 30x̄ = 116s = 17,590%t(29) = 1,699

нижняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,03?

p = 0,5E = 0,0399%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

13 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 4,09, стандартное отклонение разностей — 5,9. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μ_d = 0.

n = 13d̄ = 4,09s_d = 5,9

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 500 против H₁: μ < 500 проводится при α = 0.05 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 5. В действительности среднее равно 499.45. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 500μ = 499,45σ = 5n = 100α = 0,05

β = %

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (9, 39). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(9, 39)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 666667 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Растущая бессрочная рента

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0,06 − 0,03) = 20 000/0,03 = €666 666,67

Ответ

PV = €666 666,67

2.Временная стоимость денег

Ответ: I = 2536 €

Ежемесячный платёж

i = 0,004, N = 60

A = 20 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻⁶⁰) = €375,59

Всего процентов

I = N·A − P = 60·375,6 − 20 000 = €2 535,69

Ответ

I = €2 535,69

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −31251 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 15 000/1,15 = 13 043,48

CF₂/(1 + 0,15)² = 18 000/1,322 = 13 610,59

CF₃/(1 + 0,15)³ = 26 000/1,521 = 17 095,42

Сложите

NPV = €−31 250,51

Ответ

NPV = €−31 250,51

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 24 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(20%) = 1 180,56

NPV(25%) = −280,00

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 20 + 5·1 180,56/(1 180,56 − (−280,00)) = 24,04%

точно: NPV(24%) = 0 → IRR = 24%

Ответ

IRR = 24%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1093 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €20,00, i = 0,015, N = 22

Приведённая стоимость купонов

€20,00·(1 − 0,7207)/0,015 = €372,42

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,7207 = €720,69

Цена

P = €1 093,10

Ответ

P = €1 093,10

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: D = 3,768 годы

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Приведённая стоимость каждого потока

t = 1: 40/1,055 = 37,91, t·PV = 37,91

t = 2: 40/1,113 = 35,94, t·PV = 71,88

t = 3: 40/1,174 = 34,06, t·PV = 102,19

t = 4: 1040/1,239 = 839,51, t·PV = 3 358,02

Дюрация

P = 947,42

D = 3 570,01/947,42 = 3,768

Ответ

D = 3,768 годы

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,633 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса из D/E

E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667

D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·12% + 0,3333·7%·(1 − 0,3) = 9,633%

Ответ

WACC = 9,633%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 10,37 %

Стоимость долга (YTM)

1042 = 40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + 1000/(1 + y)¹⁰

y = 3,495%

Рыночные стоимости

D = 4 000·€1 042 = €4 168 000

V = €16 168 000, E/V = 0,7422, D/V = 0,2578

WACC

WACC = 0,7422·13% + 0,2578·3,495%·(1 − 0,2) = 10,37%

Ответ

WACC = 10,37%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 21,1

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 169/6 = 28,17

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−16,17)² + (−12,17)² + (−16,17)² + 30,83² + 22,83² + (−9,167)² = 2227

Стандартное отклонение

s = √(2227/5) = 21,1

Ответ

s = 21,1

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Ответ

P = 0,8849

11.Вероятность

Ответ: Var(X) = 0,6475

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Дисперсия

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Ответ

Var(X) = 0,6475

12.Вероятность

Ответ: E(G) = 7,5 €

Чистые исходы

G: 40 (p = 0,15), 190 (p = 0,05), −10 (p = 0,8)

Математическое ожидание

E(G) = 40·0,15 + 190·0,05 − 10·0,8 = 7,5 €

Ответ

E(G) = 7,5 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7146

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (23,3 − 32)/6 = −1,45

z₂ = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Площадь между

P = Φ(0,8) − Φ(−1,45) = 0,7881 − 0,07353 = 0,7146

Ответ

P = 0,7146

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 110,1 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Обратно к x

x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 баллов

Ответ

x = 110,12 баллов

15.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 110,6

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Предельная ошибка

E = 1,699·17,5/√30 = 5,428

Интервал

116 ± 5,428 → [110,6, 121,4]

Ответ

нижняя граница = 110,6

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1844

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,03² = 1843

Округлите вверх

n = 1844

Ответ

n = 1844

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,499

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 5,9/√13 = 1,636

Статистика критерия

t = 4,09/1,636 = 2,499

Ответ

t = 2,499

При df = 12 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,179; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 70,71 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 5/√100 = 0,5

x̄_c = 500 − 1,645·0,5 = 499,2

z при истинном среднем

z = (499,2 − 499,45)/0,5 = −0,545

Ошибка второго рода

мощность = P(Z < −0.545) = 29.29%

β = 100% − 29,29% = 70,71%

Ответ

β = 70,71%

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9744

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 120/5 = 24

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 562

Коэффициент детерминации

r² = 148²/(40·562) = 0,9744

Ответ

r² = 0,9744

Прямая объясняет около 97,44% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 5,15

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 122/5 = 24,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

Линия регрессии

b = 126/40 = 3,15

a = 24,4 − 3,15·6 = 5,5

ŷ = 5,5 + 3,15·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 5,5 + 3,15·9 = 33,85

Остаток

e = 39 − 33,85 = 5,15

Ответ

e = 5,15

Точка лежит выше прямой.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income