CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €20 000 под номинальную ставку 4,8 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 8 лет.

PV = €20 0004,8% / 12n = 8

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €500 в конце каждого месяца в течение 21 лет. Счёт даёт 7,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €5007,2% / 12N = 252

FV = €

3.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €40 000 сегодня и приносит €13 000 в конце каждого года в течение 6 лет. Стоимость капитала — 5 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 5%CF₀ = −40 000CF₁ = 13 000CF₂ = 13 000CF₃ = 13 000CF₄ = 13 000CF₅ = 13 000CF₆ = 13 000

DPB = годы

4.NPV и IRRСложная

Инвестиция €20 000 приносит €6 000 в конце каждого года в течение 5 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

C₀ = €20 000CF = €6 000n = 5

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 3 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 4%) при доходности к погашению 5,5%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 4,5%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.

F = €1 000купон = 4%n = 3y₀ = 5,5%y₁ = 4,5%

HPR = %

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 3% погашается через 8 лет и продаётся за €935. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 3%n = 8P = €935

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

Соотношение заёмного и собственного капитала компании (по рыночной стоимости) равно 1. Стоимость её собственного капитала — 14%, стоимость долга до налогов — 3,5%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

D/E = 1r_e = 14%r_d = 3,5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 5 000 000 акций по €43,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 28%. Бета акции — 1,5, безрисковая ставка — 3,5%, доходность рынка — 10,5%. Найдите WACC.

β = 1,5r_f = 3,5%r_m = 10,5%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 24, 26, 17, 35, 11, 11.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 94?

μ = 70σ = 12x = 94

P =

11.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 5 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 5

P =

12.ВероятностьСложная

В тесте 6 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,7, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?

n = 6p = 0,7k = 2

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (коробки) независимы и нормально распределены со средним 12 kg и стандартным отклонением 0,8 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 5 из них меньше 60,9 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 5< 60.9 kg

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 75 % значений (75-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 75%

x = g

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 10 элементов имеет среднее 69 и стандартное отклонение s = 8,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 10x̄ = 69s = 8,590%t(9) = 1,833

верхняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 9. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 9E = 0,599%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 119,6 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 119,6s = 4n = 100

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1? Стандартное отклонение — 4. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 4E = 195%

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 47?

n = 5ŷ = 47

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 29340 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,048/12 = 0,004

N = m·n = 12·8 = 96

Будущая стоимость

FV = 20 000·(1 + 0,004)⁹⁶ = 20 000·1,467 = €29 340,43

Ответ

FV = €29 340,43

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 292946 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·21 = 252

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(4,515 − 1)/0,006 = €292 945,59

Ответ

FV = €292 945,59

Сами вы внесли €126 000; остальное — проценты.

3.NPV и IRR

Ответ: DPB = 3,43 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 13 000/1,05 = 12 380,95 → Σ = 12 380,95

год 2: 13 000/1,103 = 11 791,38 → Σ = 24 172,34

год 3: 13 000/1,158 = 11 229,89 → Σ = 35 402,22

год 4: 13 000/1,216 = 10 695,13 → Σ = 46 097,36

Доля последнего года

DPB = 3 + 4 597,78/10 695,13 = 3,43

Ответ

DPB = 3,43 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,077 лет).

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 15,24 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Требуемый коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 20 000/6 000 = 3,333

Находим ставку

Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.

i = 15%: 3,352

i = 16%: 3,274

IRR = 15,24%

Ответ

IRR = 15,24%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: HPR = 7,41 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена покупки

C = €40,00, i = 0,055, N = 3

€40,00·(1 − 0,8516)/0,055 + €1 000·0,8516 = €107,92 + €851,61 = €959,53

Цена продажи

C = €40,00, i = 0,045, N = 2

€40,00·(1 − 0,9157)/0,045 + €1 000·0,9157 = €74,91 + €915,73 = €990,64

Доходность за период владения

HPR = (40 + 990,64 − 959,53)/959,53 = 7,41%

Ответ

HPR = 7,41%

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 3,964 %

Уравнение для доходности

€935 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Численное решение

P(3%) = €1 000,00, P(4%) = €932,67

YTM = 3,964%

Ответ

YTM = 3,964%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,299 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса из D/E

E/V = 1/(1 + 1) = 0,5

D/V = 1/(1 + 1) = 0,5

WACC

WACC = 0,5·14% + 0,5·3,5%·(1 − 0,258) = 8,299%

Ответ

WACC = 8,299%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 12,3 %

Рыночные стоимости

E = 5 000 000·€43,00 = €215 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,5·7% = 14%

Веса

V = €257 000 000, E/V = 0,8366, D/V = 0,1634

WACC

WACC = 0,8366·14% + 0,1634·5%·(1 − 0,28) = 12,3%

Ответ

WACC = 12,3%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 9,438

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 124/6 = 20,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 3,333² + 5,333² + (−3,667)² + 14,33² + (−9,667)² + (−9,667)² = 445,3

Стандартное отклонение

s = √(445,3/5) = 9,438

Ответ

s = 9,438

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

11.Вероятность

Ответ: P = 0,5981

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Ответ

P = 0,5981

12.Вероятность

Ответ: P = 0,05954

Формула Бернулли

P(X = 2) = 15·0,7²·0,3⁴ = 15·0,49·0,0081 = 0,05954

Ответ

P = 0,05954

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6915

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 60 kg, σ_T = 0,8·√5 = 1,789 kg

Стандартизуйте

z = (60,9 − 60)/1,789 = 0,5

Вероятность

P = Φ(0,5) = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 253,4 g

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Обратно к x

x = 250 + 0,6745·5 = 253,37 g

Ответ

x = 253,37 g

15.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 73,93

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 9, t = 1,833

Предельная ошибка

E = 1,833·8,5/√10 = 4,927

Интервал

69 ± 4,927 → [64,07, 73,93]

Ответ

верхняя граница = 73,93

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 2150

Выразите n

n = (2,576·9/0,5)² = 2150

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 2150

Ответ

n = 2150

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Статистика критерия

t = (119,6 − 120)/0,4 = −1

Ответ

t = −1

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 62

Выразите n

n = (1,96·4/1)² = 61,47

Округлите вверх

n = 62

Ответ

n = 62

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9847

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 279/6 = 46,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 249

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 899,5

Коэффициент детерминации

r² = 249²/(70·899,5) = 0,9847

Ответ

r² = 0,9847

Прямая объясняет около 98,47% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 2,484

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 243/5 = 48,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31

Линия регрессии

b = 31/10 = 3,1

a = 48,6 − 3,1·3 = 39,3

ŷ = 39,3 + 3,1·x

Найдите x

x = (47 − 39,3)/3,1 = 2,484

Ответ

x = 2,484

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income