CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 15 % годовых с ежеквартальной капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 15%m = 4

EAR = %

2.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €3 000 в начале каждого года в течение 30 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 6 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 30? Найдите FV.

A = €3 000i = 6%n = 30

FV = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €9 000, €14 000, €7 000, €12 000. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 000CF₂ = 14 000CF₃ = 7 000CF₄ = 12 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €14 000, €8 000, €12 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 12 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 12%CF₀ = −25 000CF₁ = 14 000CF₂ = 8 000CF₃ = 12 000

MIRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 6%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 9 лет. Доходность к погашению — 3% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 6%YTM = 3%n = 9

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 4% погашается через 6 лет и продаётся за €925. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 4%n = 6P = €925

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €5 000 000, привилегированными акциями стоимостью €500 000 и долгом стоимостью €5 000 000. Стоимость собственного капитала — 13%, стоимость привилегированного капитала — 6,5%, стоимость долга до налогов — 4,5%. Ставка налога — 30%. Найдите WACC.

E = €5 000 000P_s = €500 000D = €5 000 000r_e = 13%r_p = 6,5%r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

Бизнес компании имеет бету без учёта долга (бету активов) 0,7. Компания планирует соотношение долга и собственного капитала 0,5. Ставка налога — 28%, безрисковая ставка — 2%, рыночная премия за риск — 4,5%. Найдите стоимость собственного капитала r_e при новой структуре капитала.

β_U = 0,7D/E = 0,5T = 28%r_f = 2%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 43, 59, 56, 28, 41, 19.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 160,4.

μ = 170σ = 8x = 160,4

z =

11.ВероятностьСредняя

В мешочке 4 красных и 8 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

4 / 8

P =

12.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 1. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,3, 0,3, 0,25Y = 5X + 1

σ_Y =

13.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 4 из них меньше 162,4 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 4< 162.4 g

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 80% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g80%

x = g

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 21 элементов имеет среднее 22 и стандартное отклонение s = 20. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 21x̄ = 22s = 2099%t(20) = 2,845

нижняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 39. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 5?

σ = 39E = 595%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 70,04 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 70,04s = 8n = 25

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 16 измерений имеет среднее 502,6. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 502,6σ = 4n = 1699%

L =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 48Σy = 422Σx² = 454Σy² = 32508Σxy = 3818

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 13). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(3, 13)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 15,87 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,15/4 = 0,0375

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,0375)⁴ − 1 = 1,159 − 1 = 15,87%

Ответ

EAR = 15,87%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 251405 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,06)³⁰ − 1)/0,06 = 79,06

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 3 000·79,06·1,06 = €251 405,03

Ответ

FV = €251 405,03

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 3207 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 9 000/1,1 = 8 181,82

CF₂/(1 + 0,1)² = 14 000/1,21 = 11 570,25

CF₃/(1 + 0,1)³ = 7 000/1,331 = 5 259,20

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 12 000/1,464 = 8 196,16

Сложите

NPV = €3 207,43

Ответ

NPV = €3 207,43

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 15,5 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

14 000·1,12² = 17 561,60

8 000·1,12¹ = 8 960,00

12 000·1,12⁰ = 12 000,00

TV = 38 521,60

MIRR

MIRR = (38 521,60/25 000)^1/3 − 1 = 15,5%

Ответ

MIRR = 15,5%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1235 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €30,00, i = 0,015, N = 18

Приведённая стоимость купонов

€30,00·(1 − 0,7649)/0,015 = €470,18

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,7649 = €764,91

Цена

P = €1 235,09

Ответ

P = €1 235,09

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 5,501 %

Уравнение для доходности

€925 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Численное решение

P(5%) = €949,24, P(6%) = €901,65

YTM = 5,501%

Ответ

YTM = 5,501%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = 5 000 000 + 500 000 + 5 000 000 = €10 500 000

E/V = 0,4762, P_s/V = 0,04762, D/V = 0,4762

WACC

WACC = 0,4762·13% + 0,04762·6,5% + 0,4762·4,5%·(1 − 0,3) = 8%

Ответ

WACC = 8%

8.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 6,284 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета с учётом долга

β_L = 0,7·(1 + 0,72·0,5) = 0,952

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2% + 0,952·4,5% = 6,284%

Ответ

r_e = 6,284%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 15,53

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 246/6 = 41

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 2² + 18² + 15² + (−13)² + 0² + (−22)² = 1206

Стандартное отклонение

s = √(1206/5) = 15,53

Ответ

s = 15,53

10.Описательная статистика

Ответ: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (160,4 − 170)/8 = −1,2

Ответ

z = −1,2

11.Вероятность

Ответ: P = 0,09091

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0,09091

Ответ

P = 0,09091

12.Вероятность

Ответ: σ_Y = 50,68

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 26,5, Var(X) = 102,8, σ_X = 10,14

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·10,14 = 50,68

Ответ

σ_Y = 50,68

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·26,5 + 1 = 133,5.

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 160 g, σ_T = 1,2·√4 = 2,4 g

Стандартизуйте

z = (162,4 − 160)/2,4 = 1

Вероятность

P = Φ(1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 245,8 g

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,2

z из таблицы

z ≈ −0,84

Возврат к исходным единицам

x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g

Ответ

x = 245,8 g

15.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 9,583

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Предельная ошибка

E = 2,845·20/√21 = 12,42

Интервал

22 ± 12,42 → [9,583, 34,42]

Ответ

нижняя граница = 9,583

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 234

Выразите n

n = (1,96·39/5)² = 233,7

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 234

Ответ

n = 234

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,1

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Статистика критерия

t = (70,04 − 75)/1,6 = −3,1

Ответ

t = −3,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 500

Предельная ошибка

E = 2,576·4/√16 = 2,576

Граница интервала

L = 502,6 − 2,576 = 500

Ответ

L = 500

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9935

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 3818 − 48·422/6 = 442

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 32508 − 422²/6 = 2827

Коэффициент корреляции

r = 442/√(70·2827) = 0,9935

Ответ

r = 0,9935

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 4,252

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 83/6 = 13,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 89

Линия регрессии

b = 89/70 = 1,271

a = 13,83 − 1,271·7 = 4,933

ŷ = 4,933 + 1,271·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 4,933 + 1,271·3 = 8,748

Остаток

e = 13 − 8,748 = 4,252

Ответ

e = 4,252

Точка лежит выше прямой.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income