CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €5 000 под 3 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 4 лет.

PV = €5 000r = 3%t = 4

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €100 в конце каждого месяца в течение 7 лет. Счёт даёт 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €1004,2% / 12N = 84

FV = €

3.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €30 000 сегодня. Он приносит €6 500 в конце каждого года в течение 5 лет, а затем может быть продан за €3 000. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €30 000CF = €6 500S = €3 000n = 5r = 10%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €6 500, €5 000, €4 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 5 000CF₃ = 4 500

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 6% и погашается через 13 лет. Её доходность к погашению меняется с 4% до 6%. На сколько ΔP изменится цена облигации?

F = €1 000купон = 6%n = 13y₁ = 4%y₂ = 6%

ΔP = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 4% погашается через 3 лет и продаётся за €945. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 4%n = 3P = €945

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €6 000 000 и долг стоимостью €1 000 000. Стоимость собственного капитала — 9%, стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 20%. Найдите WACC.

E = €6 000 000D = €1 000 000r_e = 9%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 5 000 000 акций по €48,00 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €960 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 21%. Бета акции — 1,8, безрисковая ставка — 1%, доходность рынка — 7%. Найдите WACC.

β = 1,8r_f = 1%r_m = 7%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 52, 54, 52, 35, 42, 54, 52.

n = 7

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 92?

μ = 100σ = 8x = 92

P =

11.ВероятностьСредняя

В мешочке 5 красных и 7 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

5 / 7

P =

12.ВероятностьСложная

В тесте 10 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,3, независимо. Какова вероятность P ровно 5 верных ответов?

n = 10p = 0,3k = 5

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 76,75 и 127 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 76,75x₂ = 127

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 75 % значений (75-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 75%

x = g

15.Доверительные интервалыСредняя

У 15 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 0,5 и стандартное отклонение 6,6. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для средней разности.

n = 15d̄ = 0,5s_d = 6,690%t(14) = 1,761

E = mmHg

16.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 9 участков, средний урожай 36,5 kg, стандартное отклонение 4 kg. Группа участков 2: 12 участков, среднее 25,5 kg, стандартное отклонение 7,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 36,5s₁ = 4n₂ = 12x̄₂ = 25,5s₂ = 7,595%t(19) = 2,093

верхняя граница = kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 78,4 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 78,4s = 10n = 25

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 60 из 120 пациентов, получавших лечение A, и 76 из 120 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 120x₂ = 76n₂ = 120

z =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 25,5.

n = 5x = 25,5

ŷ =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 5637 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,03·4 = 0,12

e^0,12 = 1,127

Будущая стоимость

FV = 5 000·1,127 = €5 637,48

Ответ

FV = €5 637,48

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 9746 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·7 = 84

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1,341 − 1)/0,0035 = €9 745,58

Ответ

FV = €9 745,58

Сами вы внесли €8 400; остальное — проценты.

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −3497 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

6 500·3,791 = 24 640,11

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

3 000/1,611 = 1 862,76

NPV

NPV = −30 000 + 24 640,11 + 1 862,76 = −€3 497,12

Ответ

NPV = −€3 497,12

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 30,05 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(30%) = 6,83

NPV(35%) = −612,71

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 30 + 5·6,83/(6,83 − (−612,71)) = 30,06%

точно: NPV(30,05%) = 0 → IRR = 30,05%

Ответ

IRR = 30,05%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: ΔP = −199,7 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена при прежней доходности

C = €60,00, i = 0,04, N = 13

€60,00·(1 − 0,6006)/0,04 + €1 000·0,6006 = €599,14 + €600,57 = €1 199,71

Цена при новой доходности

C = €60,00, i = 0,06, N = 13

€60,00·(1 − 0,4688)/0,06 + €1 000·0,4688 = €531,16 + €468,84 = €1 000,00

Изменение

ΔP = 1 000,00 − 1 199,71 = −€199,71

Ответ

ΔP = −€199,71

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 6,06 %

Уравнение для доходности

€945 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Численное решение

P(6%) = €946,54, P(7%) = €921,27

YTM = 6,06%

Ответ

YTM = 6,06%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,4 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

WACC

WACC = 0,8571·9% + 0,1429·6%·(1 − 0,2) = 8,4%

Ответ

WACC = 8,4%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 11,63 %

Рыночные стоимости

E = 5 000 000·€48,00 = €240 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1% + 1,8·6% = 11,8%

Веса

V = €244 800 000, E/V = 0,9804, D/V = 0,01961

WACC

WACC = 0,9804·11,8% + 0,01961·4%·(1 − 0,21) = 11,63%

Ответ

WACC = 11,63%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 7,319

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 341/7 = 48,71

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 3,286² + 5,286² + 3,286² + (−13,71)² + (−6,714)² + 5,286² + 3,286² = 321,4

Стандартное отклонение

s = √(321,4/6) = 7,319

Ответ

s = 7,319

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = −1

Таблица нормального распределения

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

11.Вероятность

Ответ: P = 0,1515

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0,1515

Ответ

P = 0,1515

12.Вероятность

Ответ: P = 0,1029

Формула Бернулли

P(X = 5) = 252·0,3⁵·0,7⁵ = 252·0,00243·0,1681 = 0,1029

Ответ

P = 0,1029

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9035

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55

z₂ = (127 − 100)/15 = 1,8

Площадь между

P = Φ(1,8) − Φ(−1,55) = 0,9641 − 0,06057 = 0,9035

Ответ

P = 0,9035

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 253,4 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Обратно к x

x = 250 + 0,6745·5 = 253,37 g

Ответ

x = 253,37 g

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 3,001 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 14, t = 1,761

Предельная ошибка

E = 1,761·6,6/√15 = 3,001

Ответ

E = 3,001 mmHg

16.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 16,79 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (8·4² + 11·7,5²)/19 = 39,3

s_p = 6,269

Предельная ошибка

E = 2,093·6,269·√(1/9 + 1/12) = 5,786

Интервал

11 ± 5,786 → [5,214, 16,79]

Ответ

верхняя граница = 16,79 kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,7

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Статистика критерия

t = (78,4 − 75)/2 = 1,7

Ответ

t = 1,7

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −2,084

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 60/120 = 0,5

p̂₂ = 76/120 = 0,6333

p̂ = 136/240 = 0,5667

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,5667·0,4333·(1/120 + 1/120)) = 0,06397

Статистика критерия

z = (0,5 − 0,6333)/0,06397 = −2,084

Ответ

z = −2,084

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9848

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 104/6 = 17,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 241,3

Коэффициент корреляции

r = 128/√(70·241,3) = 0,9848

Ответ

r = 0,9848

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 114

Средние

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 437/5 = 87,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 531

Линия регрессии

b = 531/90 = 5,9

a = 87,4 − 5,9·21 = −36,5

ŷ = −36,5 + 5,9·x

Прогноз

ŷ = −36,5 + 5,9·25,5 = 114

Ответ

ŷ = 114

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income