CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €3 000 под номинальную ставку 3 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 10 лет.

PV = €3 0003% / 4n = 10

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €10 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 6 лет под 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?

P = €10 0004,8% / 12N = 72

I = €

3.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €400 000 сегодня. Он приносит €29 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 1 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €29 000g = 1%r = 10%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €150 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €45 000 и растёт на 5 % в год до последнего денежного потока в конце года 4. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €45 000g = 5%n = 4r = 8%

NPV = €

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 2%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 5 лет. Доходность к погашению — 5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 2%YTM = 5%n = 5

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 7 лет и продаётся за €1 115. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 7%n = 7P = €1 115

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

Акция с бетой 1,25 имеет требуемую доходность 9,63%. Безрисковая ставка — 1,5%. Какую ожидаемую доходность рынка r_m подразумевает CAPM?

β = 1,25r_e = 9,63%r_f = 1,5%

r_m = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 5 000 000 акций по €56,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €1 000 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 21%. Бета акции — 1,5, безрисковая ставка — 2,5%, доходность рынка — 9%. Найдите WACC.

β = 1,5r_f = 2,5%r_m = 9%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 22, 40, 14, 49, 36.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений меньше 36?

μ = 60σ = 20x = 36

P =

11.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 10 человек? Порядок не важен.

n = 10k = 4

N =

12.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 2X + 10. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,35, 0,2, 0,15Y = 2X + 10

σ_Y =

13.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 10 из них превышает 251,6 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10> 251,6 kg

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 90% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов90%

x = баллов

15.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 80 телефонов, среднее 77 h, известное стандартное отклонение 11 h. Модель 2: 60 телефонов, среднее 84 h, известное стандартное отклонение 3 h. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 77 hσ₁ = 11 hn₂ = 60x̄₂ = 84 hσ₂ = 3 h99%

верхняя граница = h

16.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,025?

p = 0,5E = 0,02599%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 496,3 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 496,3s = 15n = 81

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 73,6. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 8. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 73,6σ = 8n = 8199%

U =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 12?

n = 5ŷ = 12

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 4045 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·10 = 40

Будущая стоимость

FV = 3 000·(1 + 0,0075)⁴⁰ = 3 000·1,348 = €4 045,05

Ответ

FV = €4 045,05

2.Временная стоимость денег

Ответ: I = 1529 €

Ежемесячный платёж

i = 0,004, N = 72

A = 10 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻⁷²) = €160,12

Всего процентов

I = N·A − P = 72·160,1 − 10 000 = €1 528,87

Ответ

I = €1 528,87

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −77778 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 29 000/(0,1 − 0,01) = 322 222,22

NPV

NPV = 322 222,22 − 400 000 = −€77 777,78

Ответ

NPV = −€77 777,78

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: NPV = 9850 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,05)/(1,08))⁴ = 0,8934

PV = 45 000/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,8934) = 159 849,93

NPV

NPV = 159 849,93 − 150 000 = €9 849,93

Ответ

NPV = €9 849,93

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 868,7 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €10,00, i = 0,025, N = 10

Приведённая стоимость купонов

€10,00·(1 − 0,7812)/0,025 = €87,52

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,7812 = €781,20

Цена

P = €868,72

Ответ

P = €868,72

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 5,012 %

Уравнение для доходности

€1 115 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Численное решение

P(5%) = €1 115,73, P(6%) = €1 055,82

YTM = 5,012%

Ответ

YTM = 5,012%

7.CAPM и WACC

Ответ: r_m = 8,004 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Рыночная премия за риск

r_m − r_f = (9,63% − 1,5%)/1,25 = 6,504%

Доходность рынка

r_m = 1,5% + 6,504% = 8,004%

Ответ

r_m = 8,004%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 11,06 %

Рыночные стоимости

E = 5 000 000·€56,00 = €280 000 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,5·6,5% = 12,25%

Веса

V = €320 000 000, E/V = 0,875, D/V = 0,125

WACC

WACC = 0,875·12,25% + 0,125·3,5%·(1 − 0,21) = 11,06%

Ответ

WACC = 11,06%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 14,08

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 161/5 = 32,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−10,2)² + 7,8² + (−18,2)² + 16,8² + 3,8² = 792,8

Стандартное отклонение

s = √(792,8/4) = 14,08

Ответ

s = 14,08

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1151

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Ответ

P = 0,1151

11.Вероятность

Ответ: N = 210

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(10, 4) = (10·9·8·7)/(4·3·2·1) = 210

Ответ

N = 210

12.Вероятность

Ответ: σ_Y = 4,118

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 2,4, Var(X) = 4,24, σ_X = 2,059

Линейное преобразование

σ_Y = |2|·2,059 = 4,118

Ответ

σ_Y = 4,118

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 2·2,4 + 10 = 14,8.

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1562

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 250 kg, σ_T = 0,5·√10 = 1,581 kg

Стандартизуйте

z = (251,6 − 250)/1,581 = 1,01

Вероятность

P = 1 − Φ(1,01) = 0,1562

Ответ

P = 0,1562

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 77,8 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,9

z из таблицы

z ≈ 1,28

Возврат к исходным единицам

x = 65 + 1,28·10 = 77,8 баллов

Ответ

x = 77,8 баллов

15.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = −3,679 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 77 − 84 = −7

Стандартная ошибка

SE = √(11²/80 + 3²/60) = 1,289

Предельная ошибка

E = 2,576·1,289 = 3,321

Интервал

−7 ± 3,321 → [−10,32, −3,679]

Ответ

верхняя граница = −3,679 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 2655

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,025² = 2654

Округлите вверх

n = 2655

Ответ

n = 2655

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,22

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Статистика критерия

t = (496,3 − 500)/1,667 = −2,22

Ответ

t = −2,22

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 75,89

Предельная ошибка

E = 2,576·8/√81 = 2,29

Граница интервала

U = 73,6 + 2,29 = 75,89

Ответ

U = 75,89

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9848

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 44/5 = 8,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 92,8

Коэффициент корреляции

r = 60/√(40·92,8) = 0,9848

Ответ

r = 0,9848

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 111/5 = 22,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

Линия регрессии

b = 136/40 = 3,4

a = 22,2 − 3,4·6 = 1,8

ŷ = 1,8 + 3,4·x

Найдите x

x = (12 − 1,8)/3,4 = 3

Ответ

x = 3

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income