Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €20 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 2 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 5 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €20 000g = 2%r = 5%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Вы откладываете €150 в конце каждого месяца в течение 16 лет. Счёт даёт 2,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.
A = €1502,4% / 12N = 192
FV = €
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €45 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €17 000, €21 000, €22 000. Стоимость капитала — 7,000000000000001 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект стоит €40 000 и приносит €20 000, €23 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −40 000CF1 = 20 000CF2 = 23 000
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 погашается через 3 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €948 при доходности к погашению 7%. Найдите купонную ставку c в процентах.
F = €1 000n = 3P = €948YTM = 7%
c = %
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 5 лет и продаётся за €920. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 7%n = 5P = €920
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
Акция с бетой 1,5 имеет требуемую доходность 8,25%. Безрисковая ставка — 1,5%. Какую ожидаемую доходность рынка rm подразумевает CAPM?
β = 1,5re = 8,25%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM и WACCСложная
У компании 1 000 000 акций по €26,50 за штуку и 20 000 облигаций рыночной стоимостью €1 000 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 3%, ставка налога — 21%. Бета акции — 0,8, безрисковая ставка — 2,5%, доходность рынка — 6,5%. Найдите WACC.
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,7373. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,7373
z =
14.Нормальное распределениеСложная
Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 40 телефонов, среднее 124,5 h, известное стандартное отклонение 18 h. Модель 2: 50 телефонов, среднее 124 h, известное стандартное отклонение 7 h. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 25. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?
σ = 25E = 1,590%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 49 студентов имеет средний балл 201,9 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 201,9s = 8n = 49
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 100 измерений имеет среднее 122. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 122σ = 20n = 10090%
U =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5Σx = 15Σy = 86Σx² = 55Σy² = 1560Σxy = 230
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 8.
n = 6x = 8
ŷ =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 666667 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 17 000/1,07 = 15 887,85
CF2/(1 + 0,07)2 = 21 000/1,145 = 18 342,21
CF3/(1 + 0,07)3 = 22 000/1,225 = 17 958,55
Сложите
NPV = €7 188,62
Ответ
NPV = €7 188,62
NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 4,844 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(0%) = 3 000,00
NPV(5%) = −90,70
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Приведённая стоимость номинала
1000·(1 + 0,07)−3 = €816,30
Купон
C = (948 − 816,30)/2,624 = €50,19
Купонная ставка
c = 50,19/1000 = 5,019%
Ответ
c = 5,019%
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: YTM = 9,06 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€920 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Численное решение
P(9%) = €922,21, P(10%) = €886,28
YTM = 9,06%
Ответ
YTM = 9,06%
7.CAPM и WACC
Ответ: rm = 6 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Рыночная премия за риск
rm − rf = (8,25% − 1,5%)/1,5 = 4,5%
Доходность рынка
rm = 1,5% + 4,5% = 6%
Ответ
rm = 6%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 4,268 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1,2
Таблица нормального распределения
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Ответ
P = 0,8849
11.Вероятность
Ответ: Var(X) = 2,16
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 3,15, Var(X) = 1,428, σX = 1,195
Линейное преобразование
σY = |5|·1,195 = 5,974
Ответ
σY = 5,974
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·3,15 + 5 = 20,75.
13.Нормальное распределение
Ответ: z = 1,12
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = (1 + 0,7373)/2 = 0,8686
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,8686 внутри таблицы и считайте z.
z = 1,12
Ответ
z = 1,12
14.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,7389
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение разности
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Вероятность
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Ответ
P = 0,7389
15.Доверительные интервалы
Ответ: E = 4,957 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 124,5 − 124 = 0,5
Стандартная ошибка
SE = √(18²/40 + 7²/50) = 3,013
Предельная ошибка
E = 1,645·3,013 = 4,957
Ответ
E = 4,957 h
Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 752
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,645·25/1,5)² = 751,7
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 752
Ответ
n = 752
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,663
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143
Статистика критерия
t = (201,9 − 200)/1,143 = 1,663
Ответ
t = 1,663
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 125,3
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 1,645·20/√100 = 3,29
Граница интервала
U = 122 + 3,29 = 125,3
Ответ
U = 125,3
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,985
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 230 − 15·86/5 = −28
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1560 − 86²/5 = 80,8
Коэффициент корреляции
r = −28/√(10·80,8) = −0,985
Ответ
r = −0,985
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 59,35
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 311/6 = 51,83
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 263
Линия регрессии
b = 263/70 = 3,757
a = 51,83 − 3,757·6 = 29,29
ŷ = 29,29 + 3,757·x
Прогноз
ŷ = 29,29 + 3,757·8 = 59,35
Ответ
ŷ = 59,35
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.