Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €20 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 2 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 6 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €20 000g = 2%r = 6%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Вы откладываете €50 в конце каждого месяца в течение 18 лет. Счёт даёт 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.
A = €504,8% / 12N = 216
FV = €
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €45 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €10 000, €10 000, €10 000. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект стоит €50 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €7 500 и растёт на 3 % в год до последнего денежного потока в конце года 6. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €50 000CF1 = €7 500g = 3%n = 6r = 12%
NPV = €
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 6%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 4 лет. Доходность к погашению — 3% годовых. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 6%YTM = 3%n = 4
P = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация торгуется по €910 при доходности к погашению 6% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 5,3 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность снизится на 150 базисных пунктов.
P0 = €910y = 6%D = 5,3Δy = −150 bp
P = €
7.CAPM и WACCСредняя
Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €10 000 000, привилегированными акциями стоимостью €1 500 000 и долгом стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 13%, стоимость привилегированного капитала — 8%, стоимость долга до налогов — 4,5%. Ставка налога — 25%. Найдите WACC.
У компании 2 500 000 акций по €30,00 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €1 000 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 25%. Бета акции — 1,3, безрисковая ставка — 3,5%, доходность рынка — 10%. Найдите WACC.
Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 82?
μ = 100σ = 12x = 82
P =
11.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,15, 0,25
σ =
12.ВероятностьСложная
Испытывают 5 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,25. Какова вероятность P, что откажет не более одного?
n = 5p = 0,25
P =
13.Нормальное распределениеСредняя
X нормальна со средним 12 min и стандартным отклонением 1,5 min; Y независима и нормальна со средним 20 min и стандартным отклонением 2 min. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 33,3 min. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 33,3 min
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Время круга X бегуна A и время круга Y бегуна B независимы и нормально распределены: X имеет среднее 52 s и стандартное отклонение 4 s, Y имеет среднее 48 s и стандартное отклонение 3 s. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 8 элементов имеет среднее 25 и стандартное отклонение s = 9,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 8x̄ = 25s = 9,599%t(7) = 3,499
нижняя граница =
16.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 36. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?
σ = 36E = 295%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 120; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 30. Случайная выборка из 144 наблюдений имеет среднее 115,75. Проверьте H₀: μ = 120 против H₁: μ < 120. Найдите p-значение p.
μ₀ = 120σ = 30n = 144x̄ = 115,75H₁: μ < μ₀
p =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 36 измерений имеет среднее 76,2. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 5. Найдите верхнюю границу U 95 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 76,2σ = 5n = 3695%
U =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 24?
n = 6ŷ = 24
x =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 500000 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 10 000/1,08 = 9 259,26
CF2/(1 + 0,08)2 = 10 000/1,166 = 8 573,39
CF3/(1 + 0,08)3 = 10 000/1,26 = 7 938,32
Сложите
NPV = €−19 229,03
Ответ
NPV = €−19 229,03
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: NPV = −17079 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость растущего аннуитета
((1,03)/(1,12))6 = 0,6049
PV = 7 500/(0,12 − 0,03)·(1 − 0,6049) = 32 921,33
NPV
NPV = 32 921,33 − 50 000 = −€17 078,67
Ответ
NPV = −€17 078,67
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: P = 1112 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €30,00, i = 0,015, N = 8
Приведённая стоимость купонов
€30,00·(1 − 0,8877)/0,015 = €224,58
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,8877 = €887,71
Цена
P = €1 112,29
Ответ
P = €1 112,29
Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: P = 978,3 €
Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифицированная дюрация
Dmod = 5,3/1,06 = 5
Оценка изменения цены
%ΔP ≈ −5·(−0,015) = 7,5%
P ≈ 910·(1 + 0,075) = €978,25
Ответ
P = €978,25
Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 10,03 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1,5
Таблица нормального распределения
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Ответ
P = 0,9332
11.Вероятность
Ответ: σ = 11,14
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Ноль и один отказ
P(X = 0) = 0,755 = 0,2373
P(X = 1) = 5·0,25·0,754 = 0,3955
Сложите
P = 0,2373 + 0,3955 = 0,6328
Ответ
P = 0,6328
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,3015
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Стандартизуйте
z = (33,3 − 32)/2,5 = 0,52
Верхний хвост
P = 1 − Φ(0,52) = 1 − 0,6985 = 0,3015
Ответ
P = 0,3015
14.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,7881
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение разности
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Стандартизуйте
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Вероятность
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Ответ
P = 0,7881
15.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 13,25
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 7, t = 3,499
Предельная ошибка
E = 3,499·9,5/√8 = 11,75
Интервал
25 ± 11,75 → [13,25, 36,75]
Ответ
нижняя граница = 13,25
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 1245
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·36/2)² = 1245
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 1245
Ответ
n = 1245
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: p = 0,04457
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерия
SE = σ/√n = 30/√144 = 2,5
z = (115,75 − 120)/2,5 = −1,7
Площадь хвоста
Φ(1,7) = 0,9554
1 − Φ(1,7) = 0,0446
p-значение
p = 0,04457
Ответ
p = 0,04457
p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 77,83
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 1,96·5/√36 = 1,633
Граница интервала
U = 76,2 + 1,633 = 77,83
Ответ
U = 77,83
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9803
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 7656 − 132·336/6 = 264
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 19852 − 336²/6 = 1036
Коэффициент корреляции
r = 264/√(70·1036) = 0,9803
Ответ
r = 0,9803
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 5,101
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 186/6 = 31
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258
Линия регрессии
b = 258/70 = 3,686
a = 31 − 3,686·7 = 5,2
ŷ = 5,2 + 3,686·x
Найдите x
x = (24 − 5,2)/3,686 = 5,101
Ответ
x = 5,101
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.