CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €2 000 под номинальную ставку 2 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 2 лет.

PV = €2 0002% / 4n = 2

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €25 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 4 лет. Ставка — 6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €25 0006% / 12N = 48

A = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €45 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €22 000, €20 000, €16 000. Стоимость капитала — 7,000000000000001 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 22 000CF₂ = 20 000CF₃ = 16 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €80 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €9 000 и растёт на 2 % в год до последнего денежного потока в конце года 10. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €9 000g = 2%n = 10r = 10%

NPV = €

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 6%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 4 лет. Доходность к погашению — 5,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 6%YTM = 5,5%n = 4

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 6% погашается через 10 лет и продаётся за €865. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 6%n = 10P = €865

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €8 000 000 и долг стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 8%, стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

E = €8 000 000D = €4 000 000r_e = 8%r_d = 7%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 4 000 000 акций, торгующихся по €24,50; балансовая стоимость её собственного капитала — €58 800 000. Она только что выплатила дивиденд €1,10 на акцию, дивиденды растут на 4% в год. Рыночная стоимость её долга — €98 000 000, стоимость долга до налогов — 5%. Ставка налога — 25%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.

N = 4 000 000P₀ = €24,50балансовый собственный капитал = €58 800 000D₀ = €1,10g = 4%D = €98 000 000r_d = 5%T = 25%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 16, 52, 56, 13, 12.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений меньше 77,5?

μ = 100σ = 15x = 77,5

P =

11.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 5 человек из группы из 10 человек? Порядок не важен.

n = 10k = 5

N =

12.ВероятностьСложная

В тесте 5 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,1, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?

n = 5p = 0,1k = 2

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 65 и 67,5 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 65x₂ = 67,5

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,05 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

15.Доверительные интервалыСредняя

У 13 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 9,9 и стандартное отклонение 1,7. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для средней разности.

n = 13d̄ = 9,9s_d = 1,795%t(12) = 2,179

верхняя граница = mmHg

16.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,01?

p = 0,5E = 0,0190%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 124 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 124s = 20n = 36

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2? Стандартное отклонение — 20. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 20E = 295%

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 12?

n = 5ŷ = 12

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 2081 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,02/4 = 0,005

N = m·n = 4·2 = 8

Будущая стоимость

FV = 2 000·(1 + 0,005)⁸ = 2 000·1,041 = €2 081,41

Ответ

FV = €2 081,41

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 587,1 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·4 = 48

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,7871

A = 25 000·0,005/(1 − 0,7871) = €587,13

Ответ

A = €587,13

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 6090 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 22 000/1,07 = 20 560,75

CF₂/(1 + 0,07)² = 20 000/1,145 = 17 468,77

CF₃/(1 + 0,07)³ = 16 000/1,225 = 13 060,77

Сложите

NPV = €6 090,29

Ответ

NPV = €6 090,29

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: NPV = −20372 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,02)/(1,1))¹⁰ = 0,47

PV = 9 000/(0,1 − 0,02)·(1 − 0,47) = 59 627,80

NPV

NPV = 59 627,80 − 80 000 = −€20 372,20

Ответ

NPV = −€20 372,20

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1018 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €30,00, i = 0,0275, N = 8

Приведённая стоимость купонов

€30,00·(1 − 0,8049)/0,0275 = €212,83

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,8049 = €804,91

Цена

P = €1 017,74

Ответ

P = €1 017,74

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 8,013 %

Уравнение для доходности

€865 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Численное решение

P(8%) = €865,80, P(9%) = €807,47

YTM = 8,013%

Ответ

YTM = 8,013%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,065 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €12 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·8% + 0,3333·7%·(1 − 0,258) = 7,065%

Ответ

WACC = 7,065%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,21 %

Стоимость собственного капитала

D₁ = 1,1·1,04 = €1,14

r_e = 1,144/24,5 + 0,04 = 8,669%

Рыночные стоимости

E = 4 000 000·€24,50 = €98 000 000

V = €196 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·8,669% + 0,5·5%·(1 − 0,25) = 6,21%

Ответ

WACC = 6,21%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 22,19

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 149/5 = 29,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−13,8)² + 22,2² + 26,2² + (−16,8)² + (−17,8)² = 1969

Стандартное отклонение

s = √(1969/4) = 22,19

Ответ

s = 22,19

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблица нормального распределения

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

11.Вероятность

Ответ: N = 252

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(10, 5) = (10·9·8·7·6)/(5·4·3·2·1) = 252

Ответ

N = 252

12.Вероятность

Ответ: P = 0,0729

Формула Бернулли

P(X = 2) = 10·0,1²·0,9³ = 10·0,01·0,729 = 0,0729

Ответ

P = 0,0729

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,09871

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (65 − 65)/10 = 0

z₂ = (67,5 − 65)/10 = 0,25

Площадь между

P = Φ(0,25) − Φ(0) = 0,5987 − 0,5 = 0,09871

Ответ

P = 0,09871

14.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9772

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,025 = −2

Вероятность

P = 1 − Φ(−2) = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

15.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 10,93 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 12, t = 2,179

Предельная ошибка

E = 2,179·1,7/√13 = 1,027

Интервал

9,9 ± 1,027 → [8,873, 10,93]

Ответ

верхняя граница = 10,93 mmHg

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 6766

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,01² = 6765

Округлите вверх

n = 6766

Ответ

n = 6766

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Статистика критерия

t = (124 − 120)/3,333 = 1,2

Ответ

t = 1,2

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 385

Выразите n

n = (1,96·20/2)² = 384,2

Округлите вверх

n = 385

Ответ

n = 385

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9861

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 457/6 = 76,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 679,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2973

Коэффициент детерминации

r² = 679,5²/(157,5·2973) = 0,9861

Ответ

r² = 0,9861

Прямая объясняет около 98,61% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 6,75

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 54/5 = 10,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

Линия регрессии

b = 64/40 = 1,6

a = 10,8 − 1,6·6 = 1,2

ŷ = 1,2 + 1,6·x

Найдите x

x = (12 − 1,2)/1,6 = 6,75

Ответ

x = 6,75

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income