CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €8 000 под номинальную ставку 4 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 4 лет.

PV = €8 0004% / 4n = 4

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €15 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 4 лет. Ставка — 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €15 0005,4% / 12N = 48

A = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €7 000, €7 000, €9 000, €6 000. Стоимость капитала — 5 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 7 000CF₃ = 9 000CF₄ = 6 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 и приносит €21 500, €28 000, €20 500 в конце годов с 1-го по 3-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 10 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 21 500CF₂ = 28 000CF₃ = 20 500

MIRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 5%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 5 лет. Доходность к погашению — 9% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 5%YTM = 9%n = 5

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает годовой купон 7% двумя полугодовыми платежами и погашается через 3 лет. Она продаётся за €1 114. Найдите её доходность к погашению YTM как годовую ставку (удвоенная полугодовая доходность) в процентах.

F = €1 000купон = 7% (2×)n = 3P = €1 114

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €12 000 000 и долг стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 8%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3%, ставка налога — 30%. Найдите WACC.

E = €12 000 000D = €4 000 000r_e = 8%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 2 000 000 акций по €53,50 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €960 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 30%. Бета акции — 0,8, безрисковая ставка — 3%, доходность рынка — 9%. Найдите WACC.

β = 0,8r_f = 3%r_m = 9%r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 35, 15, 17, 56, 55, 49.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений больше 130?

μ = 100σ = 20x = 130

P =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,3, 0,3, 0,1

σ =

12.ВероятностьСложная

В тесте 10 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,25, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?

n = 10p = 0,25k = 2

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 49 и 77 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 49x₂ = 77

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 25% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов25%

x = баллов

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 21 элементов имеет среднее 25 и стандартное отклонение s = 9. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 21x̄ = 25s = 995%t(20) = 2,086

E =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 29. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 29E = 2,590%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

12 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 1,06, стандартное отклонение разностей — 1,6. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μ_d = 0.

n = 12d̄ = 1,06s_d = 1,6

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 4 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 20. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 80%δ = 4σ = 20z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 19?

n = 5ŷ = 19

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 9381 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·4 = 16

Будущая стоимость

FV = 8 000·(1 + 0,01)¹⁶ = 8 000·1,173 = €9 380,63

Ответ

FV = €9 380,63

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 348,2 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·4 = 48

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,8061

A = 15 000·0,0045/(1 − 0,8061) = €348,16

Ответ

A = €348,16

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 5727 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 7 000/1,05 = 6 666,67

CF₂/(1 + 0,05)² = 7 000/1,103 = 6 349,21

CF₃/(1 + 0,05)³ = 9 000/1,158 = 7 774,54

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 6 000/1,216 = 4 936,21

Сложите

NPV = €5 726,63

Ответ

NPV = €5 726,63

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 15,64 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

21 500·1,1² = 26 015,00

28 000·1,1¹ = 30 800,00

20 500·1,1⁰ = 20 500,00

TV = 77 315,00

MIRR

MIRR = (77 315,00/50 000)^1/3 − 1 = 15,64%

Ответ

MIRR = 15,64%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 841,7 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €25,00, i = 0,045, N = 10

Приведённая стоимость купонов

€25,00·(1 − 0,6439)/0,045 = €197,82

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,6439 = €643,93

Цена

P = €841,75

Ответ

P = €841,75

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 2,998 %

За период

C = €35,00, N = 6

Численное решение

i = 1,499% за полгода

YTM

YTM = 2·1,499% = 2,998%

Ответ

YTM = 2,998%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,525 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €16 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·8% + 0,25·3%·(1 − 0,3) = 6,525%

Ответ

WACC = 6,525%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,6 %

Рыночные стоимости

E = 2 000 000·€53,50 = €107 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 3% + 0,8·6% = 7,8%

Веса

V = €111 800 000, E/V = 0,9571, D/V = 0,04293

WACC

WACC = 0,9571·7,8% + 0,04293·4,5%·(1 − 0,3) = 7,6%

Ответ

WACC = 7,6%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 18,51

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 227/6 = 37,83

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−2,833)² + (−22,83)² + (−20,83)² + 18,17² + 17,17² + 11,17² = 1713

Стандартное отклонение

s = √(1713/5) = 18,51

Ответ

s = 18,51

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблица нормального распределения

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

11.Вероятность

Ответ: σ = 0,9798

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,1 = 1,2

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,1 = 2,4

Дисперсия

Var(X) = 2,4 − 1,2² = 0,96

σ = √0,96 = 0,9798

Ответ

σ = 0,9798

12.Вероятность

Ответ: P = 0,2816

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 2) = 45·0,25²·0,75⁸ = 45·0,0625·0,1001 = 0,2816

Ответ

P = 0,2816

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8301

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (49 − 65)/10 = −1,6

z₂ = (77 − 65)/10 = 1,2

Площадь между

P = Φ(1,2) − Φ(−1,6) = 0,8849 − 0,0548 = 0,8301

Ответ

P = 0,8301

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 71,7 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,75

z из таблицы

z ≈ 0,67

Возврат к исходным единицам

x = 65 + 0,67·10 = 71,7 баллов

Ответ

x = 71,7 баллов

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 4,097

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Предельная ошибка

E = 2,086·9/√21 = 4,097

Ответ

E = 4,097

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 365

Выразите n

n = (1,645·29/2,5)² = 364,1

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 365

Ответ

n = 365

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,295

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 1,6/√12 = 0,4619

Статистика критерия

t = 1,06/0,4619 = 2,295

Ответ

t = 2,295

При df = 11 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,201; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 155

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 0,842)·20/4)² = 154,6

Округлите вверх

n = 155

Ответ

n = 155

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9481

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 88/5 = 17,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 75,2

Коэффициент корреляции

r = −26/√(10·75,2) = −0,9481

Ответ

r = −0,9481

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 1,56

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 77/5 = 15,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

Линия регрессии

b = −25/10 = −2,5

a = 15,4 − (−2,5)·3 = 22,9

ŷ = 22,9 − 2,5·x

Найдите x

x = (19 − 22,9)/(−2,5) = 1,56

Ответ

x = 1,56

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income