CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 20 % годовых с ежеквартальной капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 20%m = 4

EAR = %

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €10 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 5 лет под 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?

P = €10 0003% / 12N = 60

I = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €6 000, €5 000, €4 000. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 5 000CF₃ = 4 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €7 500, €5 500, €5 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 500CF₂ = 5 500CF₃ = 5 500

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 11 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 6%) при доходности к погашению 3,5%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 4%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.

F = €1 000купон = 6%n = 11y₀ = 3,5%y₁ = 4%

HPR = %

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает годовой купон 7% двумя полугодовыми платежами и погашается через 8 лет. Она продаётся за €888. Найдите её доходность к погашению YTM как годовую ставку (удвоенная полугодовая доходность) в процентах.

F = €1 000купон = 7% (2×)n = 8P = €888

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €6 000 000 и долг стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 14%, стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

E = €6 000 000D = €4 000 000r_e = 14%r_d = 7%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 1 000 000 акций по €24,50 за штуку и 20 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 3%, ставка налога — 25,8%. Бета акции — 0,9, безрисковая ставка — 1,5%, доходность рынка — 5,5%. Найдите WACC.

β = 0,9r_f = 1,5%r_m = 5,5%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 31, 24, 45, 43, 23, 23.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 90.

μ = 70σ = 10x = 90

z =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,3, 0,15, 0,2

Var(X) =

12.ВероятностьСложная

В тесте 8 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,4, независимо. Какова вероятность P ровно 5 верных ответов?

n = 8p = 0,4k = 5

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 240 и 259,25 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 240x₂ = 259,25

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 80 % значений (80-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 15 элементов имеет среднее 83 и стандартное отклонение s = 9,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 15x̄ = 83s = 9,590%t(14) = 1,761

нижняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 9 участков, средний урожай 70 kg, стандартное отклонение 1 kg. Группа участков 2: 7 участков, среднее 67 kg, стандартное отклонение 9,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 70s₁ = 1n₂ = 7x̄₂ = 67s₂ = 9,590%t(14) = 1,761

нижняя граница = kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 103,6 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 103,6s = 12n = 64

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 123,2. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 123,2σ = 15n = 8199%

L =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 16,5.

n = 6x = 16,5

ŷ =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 21,55 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,2/4 = 0,05

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,05)⁴ − 1 = 1,216 − 1 = 21,55%

Ответ

EAR = 21,55%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

2.Временная стоимость денег

Ответ: I = 781,2 €

Ежемесячный платёж

i = 0,0025, N = 60

A = 10 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻⁶⁰) = €179,69

Всего процентов

I = N·A − P = 60·179,7 − 10 000 = €781,21

Ответ

I = €781,21

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −7408 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 6 000/1,1 = 5 454,55

CF₂/(1 + 0,1)² = 5 000/1,21 = 4 132,23

CF₃/(1 + 0,1)³ = 4 000/1,331 = 3 005,26

Сложите

NPV = €−7 407,96

Ответ

NPV = €−7 407,96

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 41,4 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(40%) = 167,64

NPV(45%) = −407,56

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 40 + 5·167,64/(167,64 − (−407,56)) = 41,46%

точно: NPV(41,4%) = 0 → IRR = 41,4%

Ответ

IRR = 41,4%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: HPR = −0,2303 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена покупки

C = €60,00, i = 0,035, N = 11

€60,00·(1 − 0,6849)/0,035 + €1 000·0,6849 = €540,09 + €684,95 = €1 225,04

Цена продажи

C = €60,00, i = 0,04, N = 10

€60,00·(1 − 0,6756)/0,04 + €1 000·0,6756 = €486,65 + €675,56 = €1 162,22

Доходность за период владения

HPR = (60 + 1 162,22 − 1 225,04)/1 225,04 = −0,2303%

Ответ

HPR = −0,2303%

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 8,993 %

За период

C = €35,00, N = 16

Численное решение

i = 4,497% за полгода

YTM

YTM = 2·4,497% = 8,993%

Ответ

YTM = 8,993%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 10,48 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,6·14% + 0,4·7%·(1 − 0,258) = 10,48%

Ответ

WACC = 10,48%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 3,774 %

Рыночные стоимости

E = 1 000 000·€24,50 = €24 500 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,9·4% = 5,1%

Веса

V = €45 500 000, E/V = 0,5385, D/V = 0,4615

WACC

WACC = 0,5385·5,1% + 0,4615·3%·(1 − 0,258) = 3,774%

Ответ

WACC = 3,774%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 10,15

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 189/6 = 31,5

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−0,5)² + (−7,5)² + 13,5² + 11,5² + (−8,5)² + (−8,5)² = 515,5

Стандартное отклонение

s = √(515,5/5) = 10,15

Ответ

s = 10,15

10.Описательная статистика

Ответ: z = 2

Стандартизуйте

z = (90 − 70)/10 = 2

Ответ

z = 2

11.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,26

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,2 = 1,2

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,2 = 2,7

Дисперсия

Var(X) = 2,7 − 1,2² = 1,26

Ответ

Var(X) = 1,26

12.Вероятность

Ответ: P = 0,1239

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 5) = 56·0,4⁵·0,6³ = 56·0,01024·0,216 = 0,1239

Ответ

P = 0,1239

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9451

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (240 − 250)/5 = −2

z₂ = (259,25 − 250)/5 = 1,85

Площадь между

P = Φ(1,85) − Φ(−2) = 0,9678 − 0,02275 = 0,9451

Ответ

P = 0,9451

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 533,7 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Обратно к x

x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h

Ответ

x = 533,66 h

15.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 78,68

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Предельная ошибка

E = 1,761·9,5/√15 = 4,32

Интервал

83 ± 4,32 → [78,68, 87,32]

Ответ

нижняя граница = 78,68

16.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −2,56 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (8·1² + 6·9,5²)/14 = 39,25

s_p = 6,265

Предельная ошибка

E = 1,761·6,265·√(1/9 + 1/7) = 5,56

Интервал

3 ± 5,56 → [−2,56, 8,56]

Ответ

нижняя граница = −2,56 kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5

Статистика критерия

t = (103,6 − 100)/1,5 = 2,4

Ответ

t = 2,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 118,9

Предельная ошибка

E = 2,576·15/√81 = 4,293

Граница интервала

L = 123,2 − 4,293 = 118,9

Ответ

L = 118,9

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,8746

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 119/6 = 19,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 64,83

Коэффициент детерминации

r² = −31,5²/(17,5·64,83) = 0,8746

Ответ

r² = 0,8746

Прямая объясняет около 87,46% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 44,12

Средние

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 407/6 = 67,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 622,5

Линия регрессии

b = 622,5/157,5 = 3,952

a = 67,83 − 3,952·22,5 = −21,1

ŷ = −21,1 + 3,952·x

Прогноз

ŷ = −21,1 + 3,952·16,5 = 44,12

Ответ

ŷ = 44,12

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income