Вы инвестируете €3 000 под номинальную ставку 2 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 6 лет.
PV = €3 0002% / 4n = 6
FV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €200 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 20 лет. Ставка — 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.
P = €200 0003,6% / 12N = 240
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €18 000, €22 000, €29 000. Стоимость капитала — 7,000000000000001 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект A стоит €40 000 и приносит €23 000, €16 000, €9 500 в конце годов с 1-го по 3-й. Проект B стоит €45 000 и приносит €12 000, €18 000, €25 000. Найдите точку Фишера (ставку пересечения) r*, при которой оба проекта имеют одинаковую NPV, в процентах.
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 2%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 11 лет. Доходность к погашению — 3,5% годовых. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 2%YTM = 3,5%n = 11
P = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация торгуется по €1 020 при доходности к погашению 6% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 10,1 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность снизится на 150 базисных пунктов.
P0 = €1 020y = 6%D = 10,1Δy = −150 bp
P = €
7.CAPM и WACCСредняя
Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €8 000 000, привилегированными акциями стоимостью €1 500 000 и долгом стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 10%, стоимость привилегированного капитала — 6%, стоимость долга до налогов — 5%. Ставка налога — 28%. Найдите WACC.
Бета акций компании равна 1,1 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,25. Компания планирует увеличить это соотношение до 1. Ставка налога — 25%, безрисковая ставка — 3,5%, рыночная премия за риск — 4,5%. Найдите стоимость собственного капитала re после изменения.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 55.
μ = 70σ = 15x = 55
z =
11.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,15, 0,3, 0,35
Var(X) =
12.ВероятностьСложная
X имеет показанное распределение, а Y = 0,5X + 20. Найдите стандартное отклонение σY величины Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 0,5X + 20
σY =
13.Нормальное распределениеСредняя
X нормальна со средним 250 g и стандартным отклонением 4 g; Y независима и нормальна со средним 500 g и стандартным отклонением 9 g. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 759,8 g. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 759,8 g
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 25 % значений (25-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 25%
x = h
15.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 21 элементов имеет среднее 114 и стандартное отклонение s = 20. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 21x̄ = 114s = 2099%t(20) = 2,845
нижняя граница =
16.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 18. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?
σ = 18E = 199%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 36 студентов имеет средний балл 46,33 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 46,33s = 10n = 36
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 130 из 200 пациентов, получавших лечение A, и 148 из 200 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 130n₁ = 200x₂ = 148n₂ = 200
z =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (11, 37). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 6(11, 37)
e =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: FV = 3381 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Месячная ставка и число платежей
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·20 = 240
Платёж
Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.
(1 + i)−N = 0,4873
A = 200 000·0,003/(1 − 0,4873) = €1 170,22
Ответ
A = €1 170,22
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = −15289 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 18 000/1,07 = 16 822,43
CF2/(1 + 0,07)2 = 22 000/1,145 = 19 215,65
CF3/(1 + 0,07)3 = 29 000/1,225 = 23 672,64
Сложите
NPV = €−15 289,28
Ответ
NPV = €−15 289,28
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: r* = 4,156 %
Ставка пересечения (точка Фишера): ставка дисконтирования, при которой два проекта имеют одинаковую NPV. Это IRR разности их денежных потоков (B − A). Ниже неё больше NPV у проекта с более поздними и крупными денежными потоками; выше неё выигрывает другой.
Разность денежных потоков
ΔCF0 = −45 000 − (−40 000) = −5 000
ΔCF1 = 12 000 − 23 000 = −11 000
ΔCF2 = 18 000 − 16 000 = 2 000
ΔCF3 = 25 000 − 9 500 = 15 500
IRR разности
NPVΔ(4%) = 51,63
NPVΔ(5%) = −272,65
r* = 4,156%
Ответ
r* = 4,156%
Проверка: при 4,156% обе NPV равны €5 238,19.
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: P = 864 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €10,00, i = 0,0175, N = 22
Приведённая стоимость купонов
€10,00·(1 − 0,6827)/0,0175 = €181,30
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,6827 = €682,72
Цена
P = €864,02
Ответ
P = €864,02
Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: P = 1166 €
Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифицированная дюрация
Dmod = 10,1/1,06 = 9,528
Оценка изменения цены
%ΔP ≈ −9,528·(−0,015) = 14,29%
P ≈ 1020·(1 + 0,1429) = €1 165,78
Ответ
P = €1 165,78
Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 7,659 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), где βU — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.
Бета без учёта долга
βU = 1,1/(1 + 0,75·0,25) = 0,9263
Пересчёт при новом D/E
βL = 0,9263·(1 + 0,75·1) = 1,621
Стоимость собственного капитала (CAPM)
re = 3,5% + 1,621·4,5% = 10,79%
Ответ
re = 10,79%
9.Описательная статистика
Ответ: s = 18,15
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (55 − 70)/15 = −1
Ответ
z = −1
11.Вероятность
Ответ: Var(X) = 126
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Линейное преобразование
σY = |0,5|·0,8047 = 0,4023
Ответ
σY = 0,4023
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 0,5·1,05 + 20 = 20,52.
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,1587
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Стандартизуйте
z = (759,8 − 750)/9,849 = 1
Верхний хвост
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
Ответ
P = 0,1587
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 473 h
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Обратно к x
x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h
Ответ
x = 473,02 h
15.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 101,6
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Предельная ошибка
E = 2,845·20/√21 = 12,42
Интервал
114 ± 12,42 → [101,6, 126,4]
Ответ
нижняя граница = 101,6
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 2150
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·18/1)² = 2150
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 2150
Ответ
n = 2150
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −2,202
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Статистика критерия
t = (46,33 − 50)/1,667 = −2,202
Ответ
t = −2,202
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = −1,955
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 130/200 = 0,65
p̂₂ = 148/200 = 0,74
p̂ = 278/400 = 0,695
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,695·0,305·(1/200 + 1/200)) = 0,04604
Статистика критерия
z = (0,65 − 0,74)/0,04604 = −1,955
Ответ
z = −1,955
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9561
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 360/5 = 72
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140
Syy = Σ(y − ȳ)² = 536
Коэффициент корреляции
r = 140/√(40·536) = 0,9561
Ответ
r = 0,9561
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = −3,371
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 162/6 = 27
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 234
Линия регрессии
b = 234/70 = 3,343
a = 27 − 3,343·7 = 3,6
ŷ = 3,6 + 3,343·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 3,6 + 3,343·11 = 40,37
Остаток
e = 37 − 40,37 = −3,371
Ответ
e = −3,371
Точка лежит ниже прямой.
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.