CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €2 000 под номинальную ставку 4,8 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 8 лет.

PV = €2 0004,8% / 12n = 8

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы берёте в долг €15 000 под 3 % годовых с ежемесячной капитализацией и погашаете €350 в конце каждого месяца. Через сколько месяцев кредит будет погашен (последний платёж может быть меньше)? Укажите число платежей N.

P = €15 000A = €3503% / 12

N = платежей

3.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €40 000 сегодня. Он приносит €9 000 в конце каждого года в течение 5 лет, а затем может быть продан за €8 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €40 000CF = €9 000S = €8 000n = 5r = 12%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €80 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €16 000 и растёт на 2 % в год до последнего денежного потока в конце года 6. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €16 000g = 2%n = 6r = 12%

NPV = €

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 15 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €1 433 при доходности к погашению 2,5%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 15P = €1 433YTM = 2,5%

c = %

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация со сроком до погашения 19 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 5%) продаётся за €1 374. Эмитент может досрочно погасить её через 6 лет по цене отзыва €1 050. Найдите доходность к отзыву YTC в процентах.

F = €1 000купон = 5%P = €1 374цена отзыва = €1 050отзыв через 6 годы

YTC = %

7.CAPM и WACCСредняя

Акция с бетой 1,2 имеет требуемую доходность 8,2%. Безрисковая ставка — 1%. Какую ожидаемую доходность рынка r_m подразумевает CAPM?

β = 1,2r_e = 8,2%r_f = 1%

r_m = %

8.CAPM и WACCСложная

Бизнес компании имеет бету без учёта долга (бету активов) 0,6. Компания планирует соотношение долга и собственного капитала 0,6. Ставка налога — 25%, безрисковая ставка — 2%, рыночная премия за риск — 4,5%. Найдите стоимость собственного капитала r_e при новой структуре капитала.

β_U = 0,6D/E = 0,6T = 25%r_f = 2%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 13, 29, 57, 19, 39, 21.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 106.

μ = 100σ = 10x = 106

z =

11.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 15 человек? Порядок не важен.

n = 15k = 4

N =

12.ВероятностьСложная

Испытывают 11 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,1. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 11p = 0,1

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,0427. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,0427

z =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 20 % значений (20-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 20%

x = cm

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 30 элементов имеет среднее 99 и стандартное отклонение s = 9. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 30x̄ = 99s = 995%t(29) = 2,045

верхняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 10. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 10E = 2,599%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 9 студентов, средний балл 43, стандартное отклонение 11,5. Группа 2: 5 студентов, средний балл 34, стандартное отклонение 2,5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 9x̄₁ = 43s₁ = 11,5n₂ = 5x̄₂ = 34s₂ = 2,5

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 49 измерений имеет среднее 115,5. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 115,5σ = 15n = 4990%

U =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 52?

n = 5ŷ = 52

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 2934 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,048/12 = 0,004

N = m·n = 12·8 = 96

Будущая стоимость

FV = 2 000·(1 + 0,004)⁹⁶ = 2 000·1,467 = €2 934,04

Ответ

FV = €2 934,04

2.Временная стоимость денег

Ответ: N = 46 платежей

Преобразуем формулу аннуитета

i = 0,0025

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0,0025/350 = 0,8929

Решаем с помощью логарифмов

N = −ln(0,8929)/ln(1,002) = 45,39

Округляем вверх до целых платежей

После 45 полных платежей остаётся небольшой долг, который погашает последний, меньший платёж.

N = 46

Ответ

N = 46 платежей

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −3018 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

9 000·3,605 = 32 442,99

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

8 000/1,762 = 4 539,41

NPV

NPV = −40 000 + 32 442,99 + 4 539,41 = −€3 017,60

Ответ

NPV = −€3 017,60

4.NPV и IRR

Ответ: NPV = −11288 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,02)/(1,12))⁶ = 0,5705

PV = 16 000/(0,12 − 0,02)·(1 − 0,5705) = 68 712,17

NPV

NPV = 68 712,17 − 80 000 = −€11 287,83

Ответ

NPV = −€11 287,83

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 5,997 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,025)⁻¹⁵ = €690,47

Купон

C = (1433 − 690,47)/12,38 = €59,97

Купонная ставка

c = 59,97/1000 = 5,997%

Ответ

c = 5,997%

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTC = 50 %

Уравнение для доходности

1374 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1050/(1 + y)⁶

Численное решение

y = 50%: €183,40

YTC = 50%

Ответ

YTC = 50%

Доходность к погашению равна 2,503%. Инвесторы в облигацию, торгующуюся с премией, ожидают её отзыва, поэтому более низкая доходность к отзыву реалистичнее.

7.CAPM и WACC

Ответ: r_m = 7 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Рыночная премия за риск

r_m − r_f = (8,2% − 1%)/1,2 = 6%

Доходность рынка

r_m = 1% + 6% = 7%

Ответ

r_m = 7%

8.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 5,915 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета с учётом долга

β_L = 0,6·(1 + 0,75·0,6) = 0,87

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2% + 0,87·4,5% = 5,915%

Ответ

r_e = 5,915%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 16,13

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 178/6 = 29,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−16,67)² + (−0,6667)² + 27,33² + (−10,67)² + 9,333² + (−8,667)² = 1301

Стандартное отклонение

s = √(1301/5) = 16,13

Ответ

s = 16,13

10.Описательная статистика

Ответ: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (106 − 100)/10 = 0,6

Ответ

z = 0,6

11.Вероятность

Ответ: N = 1365

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(15, 4) = (15·14·13·12)/(4·3·2·1) = 1365

Ответ

N = 1365

12.Вероятность

Ответ: P = 0,6974

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,9¹¹ = 0,3138

P(X = 1) = 11·0,1·0,9¹⁰ = 0,3835

Сложите

P = 0,3138 + 0,3835 = 0,6974

Ответ

P = 0,6974

13.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,72

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,0427 = 0,9573

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9573 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,72

Ответ

z = 1,72

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 172,1 cm

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Обратно к x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Ответ

x = 172,11 cm

15.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 102,4

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Предельная ошибка

E = 2,045·9/√30 = 3,36

Интервал

99 ± 3,36 → [95,64, 102,4]

Ответ

верхняя граница = 102,4

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 107

Выразите n

n = (2,576·10/2,5)² = 106,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 107

Ответ

n = 107

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,698

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (8·11,5² + 4·2,5²)/12 = 90,25

s_p = 9,5

Стандартная ошибка

SE = 9,5·√(1/9 + 1/5) = 5,299

Статистика критерия

t = (43 − 34)/5,299 = 1,698

Ответ

t = 1,698

При df = 12 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,179; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 119

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,645·15/√49 = 3,525

Граница интервала

U = 115,5 + 3,525 = 119

Ответ

U = 119

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9131

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 289/5 = 57,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 55

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 362,8

Коэффициент корреляции

r = 55/√(10·362,8) = 0,9131

Ответ

r = 0,9131

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 2,543

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 276/5 = 55,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70

Линия регрессии

b = 70/10 = 7

a = 55,2 − 7·3 = 34,2

ŷ = 34,2 + 7·x

Найдите x

x = (52 − 34,2)/7 = 2,543

Ответ

x = 2,543

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income