CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €2 000 под 8 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 12 лет.

PV = €2 000r = 8%t = 12

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы берёте в долг €5 000 под 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией и погашаете €75 в конце каждого месяца. Через сколько месяцев кредит будет погашен (последний платёж может быть меньше)? Укажите число платежей N.

P = €5 000A = €754,8% / 12

N = платежей

3.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €80 000 сегодня. Он приносит €11 500 в конце каждого года в течение 7 лет, а затем может быть продан за €16 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €80 000CF = €11 500S = €16 000n = 7r = 12%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €20 000 и приносит €11 000, €10 000, €14 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 000CF₂ = 10 000CF₃ = 14 000

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 5%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 10 лет. Доходность к погашению — 5,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 5%YTM = 5,5%n = 10

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 5% погашается через 5 лет и продаётся за €1 090. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 5%n = 5P = €1 090

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €12 000 000 и долг стоимостью €5 000 000. Стоимость собственного капитала — 11%, стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 20%. Найдите WACC.

E = €12 000 000D = €5 000 000r_e = 11%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 2 000 000 акций по €39,00 за штуку и 20 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 21%. Бета акции — 1,8, безрисковая ставка — 2%, доходность рынка — 8%. Найдите WACC.

β = 1,8r_f = 2%r_m = 8%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 23, 17, 40, 53, 55, 53.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений меньше 85?

μ = 100σ = 15x = 85

P =

11.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 7 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 7

P =

12.ВероятностьСложная

Испытывают 6 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,3. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 6p = 0,3

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 53,5 и 83,5 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 53,5x₂ = 83,5

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Масса X изделия с линии 1 и Y с линии 2 независимы и нормально распределены: X имеет среднее 500 g и стандартное отклонение 8 g, Y имеет среднее 490 g и стандартное отклонение 6 g. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 10 элементов имеет среднее 48,5 и стандартное отклонение s = 4,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 10x̄ = 48,5s = 4,595%t(9) = 2,262

E =

16.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 10 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 3,5 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 9 2,5 % распределения χ² лежит ниже 2,7 и 2,5 % — выше 19,023.

n = 10s = 3,5 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

8 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 4,3, стандартное отклонение разностей — 4,5. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μ_d = 0.

n = 8d̄ = 4,3s_d = 4,5

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 3 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 10. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 90%δ = 3σ = 10z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 12?

n = 6ŷ = 12

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 5223 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,08·12 = 0,96

e^0,96 = 2,612

Будущая стоимость

FV = 2 000·2,612 = €5 223,39

Ответ

FV = €5 223,39

2.Временная стоимость денег

Ответ: N = 78 платежей

Преобразуем формулу аннуитета

i = 0,004

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,004/75 = 0,7333

Решаем с помощью логарифмов

N = −ln(0,7333)/ln(1,004) = 77,69

Округляем вверх до целых платежей

После 77 полных платежей остаётся небольшой долг, который погашает последний, меньший платёж.

N = 78

Ответ

N = 78 платежей

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −20279 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

11 500·4,564 = 52 483,20

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

16 000/2,211 = 7 237,59

NPV

NPV = −80 000 + 52 483,20 + 7 237,59 = −€20 279,21

Ответ

NPV = −€20 279,21

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 32,56 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(30%) = 751,02

NPV(35%) = −674,69

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 30 + 5·751,02/(751,02 − (−674,69)) = 32,63%

точно: NPV(32,56%) = 0 → IRR = 32,56%

Ответ

IRR = 32,56%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 961,9 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €25,00, i = 0,0275, N = 20

Приведённая стоимость купонов

€25,00·(1 − 0,5813)/0,0275 = €380,68

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,5813 = €581,25

Цена

P = €961,93

Ответ

P = €961,93

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 3,033 %

Уравнение для доходности

€1 090 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Численное решение

P(3%) = €1 091,59, P(4%) = €1 044,52

YTM = 3,033%

Ответ

YTM = 3,033%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,941 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €17 000 000, E/V = 0,7059, D/V = 0,2941

WACC

WACC = 0,7059·11% + 0,2941·5%·(1 − 0,2) = 8,941%

Ответ

WACC = 8,941%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 10,67 %

Рыночные стоимости

E = 2 000 000·€39,00 = €78 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2% + 1,8·6% = 12,8%

Веса

V = €99 000 000, E/V = 0,7879, D/V = 0,2121

WACC

WACC = 0,7879·12,8% + 0,2121·3,5%·(1 − 0,21) = 10,67%

Ответ

WACC = 10,67%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 16,62

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 241/6 = 40,17

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−17,17)² + (−23,17)² + (−0,1667)² + 12,83² + 14,83² + 12,83² = 1381

Стандартное отклонение

s = √(1381/5) = 16,62

Ответ

s = 16,62

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = −1

Таблица нормального распределения

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

11.Вероятность

Ответ: P = 0,7209

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Ответ

P = 0,7209

12.Вероятность

Ответ: P = 0,4202

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,7⁶ = 0,1176

P(X = 1) = 6·0,3·0,7⁵ = 0,3025

Сложите

P = 0,1176 + 0,3025 = 0,4202

Ответ

P = 0,4202

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8428

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15

z₂ = (83,5 − 65)/10 = 1,85

Площадь между

P = Φ(1,85) − Φ(−1,15) = 0,9678 − 0,1251 = 0,8428

Ответ

P = 0,8428

14.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Вероятность

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 3,219

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Предельная ошибка

E = 2,262·4,5/√10 = 3,219

Ответ

E = 3,219

16.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 6,39 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 9·3,5² = 110,3

Границы для σ²

110,3/19,023 = 5,796

110,3/2,7 = 40,83

Граница для σ

σ = √40,83 = 6,39 µm

Ответ

σ = 6,39 µm

95 % интервал для σ: [2,407, 6,39] µm.

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,703

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 4,5/√8 = 1,591

Статистика критерия

t = 4,3/1,591 = 2,703

Ответ

t = 2,703

При df = 7 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,365; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 96

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 1,282)·10/3)² = 95,19

Округлите вверх

n = 96

Ответ

n = 96

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,6923

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 114/5 = 22,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −12

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 20,8

Коэффициент детерминации

r² = −12²/(10·20,8) = 0,6923

Ответ

r² = 0,6923

Прямая объясняет около 69,23% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 5,444

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 109/6 = 18,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −55,5

Линия регрессии

b = −55,5/17,5 = −3,171

a = 18,17 − (−3,171)·3,5 = 29,27

ŷ = 29,27 − 3,171·x

Найдите x

x = (12 − 29,27)/(−3,171) = 5,444

Ответ

x = 5,444

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income