Аннуитет выплачивает €3 000 в конце каждого года в течение 11 лет. Процентная ставка — 3 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.
A = €3 000i = 3%n = 11
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Через 8 лет вам нужно €25 000. Вы откладываете одинаковую сумму в конце каждого месяца на счёт под 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный взнос A.
FV = €25 0005,4% / 12N = 96
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Проект стоит €100 000 сегодня. Он приносит €6 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 3 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €100 000CF1 = €6 000g = 3%r = 10%
NPV = €
4.NPV и IRRСложная
Проект стоит €50 000 и приносит €28 000, €29 500, €35 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −50 000CF1 = 28 000CF2 = 29 500CF3 = 35 500
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 5%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 6 лет. Доходность к погашению — 5,5% годовых. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 5,5%n = 6
P = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация торгуется по €955 при доходности к погашению 5% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 10,5 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность вырастет на 75 базисных пунктов.
P0 = €955y = 5%D = 10,5Δy = +75 bp
P = €
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €4 000 000 и долг стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 12%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.
У компании 2 000 000 акций по €50,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €1 000 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 21%. Бета акции — 1,1, безрисковая ставка — 4%, доходность рынка — 9%. Найдите WACC.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 75.
μ = 70σ = 5x = 75
z =
11.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 12 человек? Порядок не важен.
n = 12k = 4
N =
12.ВероятностьСложная
Игра стоит €2. Вы выигрываете €6 с вероятностью 0,1 и €20 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.
ставка = €2€6: p = 0,1€20: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальное распределениеСредняя
Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 502 и 520 h? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 500σ = 40x1 = 502x2 = 520
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
15.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 40 h, известное стандартное отклонение 3 h. Модель 2: 40 телефонов, среднее 46,5 h, известное стандартное отклонение 18 h. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 30 деталей имеет среднюю длину 104 mm, известное стандартное отклонение линии 14 mm. Линия 2: выборка из 40 деталей имеет среднее 95,8 mm, известное стандартное отклонение 4 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1,5? Стандартное отклонение — 8. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 8E = 1,590%
n =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.
n = 5
r² =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 27?
n = 5ŷ = 27
x =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 27758 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Коэффициент аннуитета
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7224)/0,03 = 9,253
Приведённая стоимость
PV = 3 000·9,253 = €27 757,87
Ответ
PV = €27 757,87
2.Временная стоимость денег
Ответ: A = 208,8 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Стоимость денежных потоков
PV = 6 000/(0,1 − 0,03) = 85 714,29
NPV
NPV = 85 714,29 − 100 000 = −€14 285,71
Ответ
NPV = −€14 285,71
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 36,94 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(35%) = 1 355,99
NPV(40%) = −2 011,66
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €25,00, i = 0,0275, N = 12
Приведённая стоимость купонов
€25,00·(1 − 0,7221)/0,0275 = €252,61
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,7221 = €722,13
Цена
P = €974,74
Ответ
P = €974,74
Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: P = 883,4 €
Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифицированная дюрация
Dmod = 10,5/1,05 = 10
Оценка изменения цены
%ΔP ≈ −10·(0,0075) = −7,5%
P ≈ 955·(1 − 0,075) = €883,38
Ответ
P = €883,38
Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 7,484 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·12% + 0,5·4%·(1 − 0,258) = 7,484%
Ответ
WACC = 7,484%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 8,366 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (75 − 70)/5 = 1
Ответ
z = 1
11.Вероятность
Ответ: N = 495
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495
Ответ
N = 495
12.Вероятность
Ответ: E(G) = −1,2 €
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Чистые исходы
G: 4 (p = 0,1), 18 (p = 0,01), −2 (p = 0,89)
Математическое ожидание
E(G) = 4·0,1 + 18·0,01 − 2·0,89 = −1,2 €
Ответ
E(G) = −1,2 €
Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,1715
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (502 − 500)/40 = 0,05
z₂ = (520 − 500)/40 = 0,5
Площадь между
P = Φ(0,5) − Φ(0,05) = 0,6915 − 0,5199 = 0,1715
Ответ
P = 0,1715
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 593,1 h
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Обратно к x
x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h
Ответ
x = 593,05 h
15.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 0,966 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 40 − 46,5 = −6,5
Стандартная ошибка
SE = √(3²/30 + 18²/40) = 2,898
Предельная ошибка
E = 2,576·2,898 = 7,466
Интервал
−6,5 ± 7,466 → [−13,97, 0,966]
Ответ
верхняя граница = 0,966 h
Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.
16.Доверительные интервалы
Ответ: E = 7,264 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (4·2² + 6·7²)/10 = 31
sp = 5,568
Предельная ошибка
E = 2,228·5,568·√(1/5 + 1/7) = 7,264
Ответ
E = 7,264 kg
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = 3,114
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартная ошибка разности
SE = √(14²/30 + 4²/40) = √6,933 = 2,633
Статистика критерия
z = (104 − 95,8)/2,633 = 3,114
Ответ
z = 3,114
|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 77
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Выразите n
n = (1,645·8/1,5)² = 76,97
Округлите вверх
n = 77
Ответ
n = 77
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r² = 0,8317
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 387/5 = 77,4
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126
Syy = Σ(y − ȳ)² = 477,2
Коэффициент детерминации
r² = 126²/(40·477,2) = 0,8317
Ответ
r² = 0,8317
Прямая объясняет около 83,17% вариации y.
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 1,476
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 119/5 = 23,8
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Линия регрессии
b = −21/10 = −2,1
a = 23,8 − (−2,1)·3 = 30,1
ŷ = 30,1 − 2,1·x
Найдите x
x = (27 − 30,1)/(−2,1) = 1,476
Ответ
x = 1,476
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.