Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €8 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 3 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 9 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €8 000g = 3%r = 9%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Вы откладываете €250 в конце каждого месяца в течение 22 лет. Счёт даёт 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.
A = €2504,2% / 12N = 264
FV = €
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €45 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €15 000, €21 000, €17 000. Стоимость капитала — 7,000000000000001 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект стоит €25 000 и приносит €16 500, €10 500 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −25 000CF1 = 16 500CF2 = 10 500
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 5% и погашается через 8 лет. Её доходность к погашению меняется с 6% до 4%. На сколько ΔP изменится цена облигации?
F = €1 000купон = 5%n = 8y1 = 6%y2 = 4%
ΔP = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4% и погашается через 3 лет. Доходность к погашению — 9%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.
F = €1 000купон = 4%n = 3YTM = 9%
D = годы
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €3 000 000 и долг стоимостью €6 000 000. Стоимость собственного капитала — 12%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3%, ставка налога — 25%. Найдите WACC.
У компании 5 000 000 акций, торгующихся по €59,00; балансовая стоимость её собственного капитала — €118 000 000. Она только что выплатила дивиденд €2,40 на акцию, дивиденды растут на 2% в год. Рыночная стоимость её долга — €88 500 000, стоимость долга до налогов — 6%. Ставка налога — 25%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.
Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений меньше 40?
μ = 50σ = 10x = 40
P =
11.ВероятностьСредняя
В мешочке 3 красных и 9 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?
3 / 9
P =
12.ВероятностьСложная
Игра стоит €1. Вы выигрываете €4 с вероятностью 0,1 и €50 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.
ставка = €1€4: p = 0,1€50: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,1922. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,1922
z =
14.Нормальное распределениеСложная
Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 20 % значений (20-й процентиль).
μ = 250σ = 5P = 20%
x = g
15.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 15 элементов имеет среднее 99 и стандартное отклонение s = 16. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 15x̄ = 99s = 1695%t(14) = 2,145
нижняя граница =
16.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 7. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?
σ = 7E = 295%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 100 студентов имеет средний балл 70,35 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 70,35s = 15n = 100
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 4 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 25. Найдите минимальный объём выборки n.
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (10, 56). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 5(10, 56)
e =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 133333 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 15 000/1,07 = 14 018,69
CF2/(1 + 0,07)2 = 21 000/1,145 = 18 342,21
CF3/(1 + 0,07)3 = 17 000/1,225 = 13 877,06
Сложите
NPV = €1 237,97
Ответ
NPV = €1 237,97
NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 5,726 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(5%) = 238,10
NPV(10%) = −1 322,31
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Приведённая стоимость каждого потока
t = 1: 40/1,09 = 36,70, t·PV = 36,70
t = 2: 40/1,188 = 33,67, t·PV = 67,33
t = 3: 1040/1,295 = 803,07, t·PV = 2 409,21
Дюрация
P = 873,44
D = 2 513,24/873,44 = 2,877
Ответ
D = 2,877 годы
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 5,5 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €9 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·12% + 0,6667·3%·(1 − 0,25) = 5,5%
Ответ
WACC = 5,5%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 5,769 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1
Таблица нормального распределения
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Ответ
P = 0,1587
11.Вероятность
Ответ: P = 0,04545
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Первое и второе извлечение
P = 3/12 · 2/11 = 6/132 = 0,04545
Ответ
P = 0,04545
12.Вероятность
Ответ: E(G) = −0,1 €
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Чистые исходы
G: 3 (p = 0,1), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,89)
Математическое ожидание
E(G) = 3·0,1 + 49·0,01 − 1·0,89 = −0,1 €
Ответ
E(G) = −0,1 €
Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.
13.Нормальное распределение
Ответ: z = 0,87
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = 1 − 0,1922 = 0,8078
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,8078 внутри таблицы и считайте z.
z = 0,87
Ответ
z = 0,87
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 245,8 g
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Обратно к x
x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g
Ответ
x = 245,79 g
15.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 90,14
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Предельная ошибка
E = 2,145·16/√15 = 8,861
Интервал
99 ± 8,861 → [90,14, 107,9]
Ответ
нижняя граница = 90,14
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 48
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·7/2)² = 47,06
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 48
Ответ
n = 48
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −3,1
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5
Статистика критерия
t = (70,35 − 75)/1,5 = −3,1
Ответ
t = −3,1
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 335
Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.
Выразите n
n = ((1,645 + 1,282)·25/4)² = 334,7
Округлите вверх
n = 335
Ответ
n = 335
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,8413
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 296/6 = 49,33
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34
Syy = Σ(y − ȳ)² = 93,33
Коэффициент корреляции
r = 34/√(17,5·93,33) = 0,8413
Ответ
r = 0,8413
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = −3,1
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 252/5 = 50,4
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116
Линия регрессии
b = 116/40 = 2,9
a = 50,4 − 2,9·7 = 30,1
ŷ = 30,1 + 2,9·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 30,1 + 2,9·10 = 59,1
Остаток
e = 56 − 59,1 = −3,1
Ответ
e = −3,1
Точка лежит ниже прямой.
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.