Через 3 лет вам нужно €15 000. Счёт даёт 2 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.
FV = €15 0002% / 4n = 3
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Ипотечный кредит €300 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 20 лет под 2,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 7? Найдите остаток долга B.
P = €300 0002,4% / 12N = 240k = 84
B = €
3.NPV и IRRСредняя
Проект стоит €200 000 сегодня. Он приносит €11 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 3 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €200 000CF1 = €11 000g = 3%r = 10%
NPV = €
4.NPV и IRRСложная
Проект A стоит €20 000 и приносит €11 500, €8 000, €4 500 в конце годов с 1-го по 3-й. Проект B стоит €30 000 и приносит €8 000, €13 500, €15 500. Найдите точку Фишера (ставку пересечения) r*, при которой оба проекта имеют одинаковую NPV, в процентах.
Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 5 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 4,5%) при доходности к погашению 2,5%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 4%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.
F = €1 000купон = 4,5%n = 5y0 = 2,5%y1 = 4%
HPR = %
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация со сроком до погашения 16 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 8%) продаётся за €1 147. Эмитент может досрочно погасить её через 5 лет по цене отзыва €1 080. Найдите доходность к отзыву YTC в процентах.
F = €1 000купон = 8%P = €1 147цена отзыва = €1 080отзыв через 5 годы
YTC = %
7.CAPM и WACCСредняя
Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €10 000 000, привилегированными акциями стоимостью €2 000 000 и долгом стоимостью €6 000 000. Стоимость собственного капитала — 10%, стоимость привилегированного капитала — 7,5%, стоимость долга до налогов — 6%. Ставка налога — 20%. Найдите WACC.
Бета акций компании равна 1,2 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,4. Компания планирует увеличить это соотношение до 0,75. Ставка налога — 20%, безрисковая ставка — 2,5%, рыночная премия за риск — 4,5%. Найдите стоимость собственного капитала re после изменения.
Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 102?
μ = 100σ = 5x = 102
P =
11.ВероятностьСредняя
Правильный кубик бросают 2 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?
n = 2
P =
12.ВероятностьСложная
X имеет показанное распределение, а Y = −2X + 20. Найдите стандартное отклонение σY величины Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,2, 0,3, 0,3Y = −2X + 20
σY =
13.Нормальное распределениеСредняя
Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 5 из них меньше 196 g. Округлите z до двух знаков после запятой.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5< 196 g
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 95%
x = баллов
15.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 100 телефонов, среднее 83 h, известное стандартное отклонение 7 h. Модель 2: 40 телефонов, среднее 90 h, известное стандартное отклонение 18 h. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 15. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?
σ = 15E = 499%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 250; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 24. Случайная выборка из 36 наблюдений имеет среднее 244,24. Проверьте H₀: μ = 250 против H₁: μ ≠ 250. Найдите p-значение p.
μ₀ = 250σ = 24n = 36x̄ = 244,24H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 81 измерений имеет среднее 118,2. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите нижнюю границу L 95 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 118,2σ = 15n = 8195%
L =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5Σx = 15Σy = 118Σx² = 55Σy² = 2818Σxy = 336
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 19,5.
n = 5x = 19,5
ŷ =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 14129 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Ставка и число периодов
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·3 = 12
Приведённая стоимость
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,062 = €14 128,58
Ответ
PV = €14 128,58
2.Временная стоимость денег
Ответ: B = 210903 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.
N − k = 240 − 84 = 156
B = 1575·(1 − (1 + 0,002)−156)/0,002 = €210 902,88
Ответ
B = €210 902,88
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = −42857 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Стоимость денежных потоков
PV = 11 000/(0,1 − 0,03) = 157 142,86
NPV
NPV = 157 142,86 − 200 000 = −€42 857,14
Ответ
NPV = −€42 857,14
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: r* = 8,698 %
Ставка пересечения (точка Фишера): ставка дисконтирования, при которой два проекта имеют одинаковую NPV. Это IRR разности их денежных потоков (B − A). Ниже неё больше NPV у проекта с более поздними и крупными денежными потоками; выше неё выигрывает другой.
Разность денежных потоков
ΔCF0 = −30 000 − (−20 000) = −10 000
ΔCF1 = 8 000 − 11 500 = −3 500
ΔCF2 = 13 500 − 8 000 = 5 500
ΔCF3 = 15 500 − 4 500 = 11 000
IRR разности
NPVΔ(8%) = 206,78
NPVΔ(9%) = −87,75
r* = 8,698%
Ответ
r* = 8,698%
Проверка: при 8,698% обе NPV равны €854,46.
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: HPR = −2,724 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
1147 = 80·(1 − (1 + y)−5)/y + 1080/(1 + y)5
Численное решение
y = 5%: €1 192,57
y = 6%: €1 144,03
YTC = 5,937%
Ответ
YTC = 5,937%
Доходность к погашению равна 6,496%. Инвесторы в облигацию, торгующуюся с премией, ожидают её отзыва, поэтому более низкая доходность к отзыву реалистичнее.
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 7,989 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), где βU — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.
Бета без учёта долга
βU = 1,2/(1 + 0,8·0,4) = 0,9091
Пересчёт при новом D/E
βL = 0,9091·(1 + 0,8·0,75) = 1,455
Стоимость собственного капитала (CAPM)
re = 2,5% + 1,455·4,5% = 9,045%
Ответ
re = 9,045%
9.Описательная статистика
Ответ: s = 19,13
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 0,4
Таблица нормального распределения
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Ответ
P = 0,3446
11.Вероятность
Ответ: P = 0,3056
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Противоположное событие
P(нет шестёрки) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Ответ
P = 0,3056
12.Вероятность
Ответ: σY = 4,4
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 3,4, Var(X) = 4,84, σX = 2,2
Линейное преобразование
σY = |−2|·2,2 = 4,4
Ответ
σY = 4,4
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = −2·3,4 + 20 = 13,2.
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,06811
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μT = 200 g, σT = 1,2·√5 = 2,683 g
Стандартизуйте
z = (196 − 200)/2,683 = −1,49
Вероятность
P = Φ(−1,49) = 0,06811
Ответ
P = 0,06811
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 81,45 баллов
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Обратно к x
x = 65 + 1,645·10 = 81,45 баллов
Ответ
x = 81,45 баллов
15.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = −1,255 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 83 − 90 = −7
Стандартная ошибка
SE = √(7²/100 + 18²/40) = 2,931
Предельная ошибка
E = 1,96·2,931 = 5,745
Интервал
−7 ± 5,745 → [−12,74, −1,255]
Ответ
верхняя граница = −1,255 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 94
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·15/4)² = 93,32
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 94
Ответ
n = 94
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: p = 0,1499
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерия
SE = σ/√n = 24/√36 = 4
z = (244,24 − 250)/4 = −1,44
Площадь хвоста
Φ(1,44) = 0,9251
1 − Φ(1,44) = 0,0749
p-значение
p = 2·0,0749 = 0,1499
Ответ
p = 0,1499
p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: L = 114,9
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 1,96·15/√81 = 3,267
Граница интервала
L = 118,2 − 3,267 = 114,9
Ответ
L = 114,9
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,9879
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 336 − 15·118/5 = −18
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2818 − 118²/5 = 33,2
Коэффициент корреляции
r = −18/√(10·33,2) = −0,9879
Ответ
r = −0,9879
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 77,25
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 498/5 = 99,6
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 447
Линия регрессии
b = 447/90 = 4,967
a = 99,6 − 4,967·24 = −19,6
ŷ = −19,6 + 4,967·x
Прогноз
ŷ = −19,6 + 4,967·19,5 = 77,25
Ответ
ŷ = 77,25
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.