CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €3 000 под номинальную ставку 4 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 6 лет.

PV = €3 0004% / 4n = 6

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €8 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 6 лет. Ставка — 6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €8 0006% / 12N = 72

A = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €5 000, €6 000, €4 000, €5 000. Стоимость капитала — 5 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 6 000CF₃ = 4 000CF₄ = 5 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €15 000, €17 500, €12 500 в конце годов с 1-го по 3-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 12 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 12%CF₀ = −40 000CF₁ = 15 000CF₂ = 17 500CF₃ = 12 500

MIRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 3%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 4 лет. Доходность к погашению — 5,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 3%YTM = 5,5%n = 4

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 4% погашается через 10 лет и продаётся за €1 180. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 4%n = 10P = €1 180

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

Акция с бетой 1,5 имеет требуемую доходность 11%. Безрисковая ставка — 2%. Какую ожидаемую доходность рынка r_m подразумевает CAPM?

β = 1,5r_e = 11%r_f = 2%

r_m = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 2 000 000 акций по €16,50 за штуку и 20 000 облигаций рыночной стоимостью €960 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 25,8%. Бета акции — 0,6, безрисковая ставка — 2%, доходность рынка — 8%. Найдите WACC.

β = 0,6r_f = 2%r_m = 8%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 36, 30, 18, 56, 50.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 158.

μ = 170σ = 8x = 158

z =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

12.ВероятностьСложная

Испытывают 7 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,3. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 7p = 0,3

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,6319. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,6319

z =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 95%

x = баллов

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 11 элементов имеет среднее 69 и стандартное отклонение s = 2,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 11x̄ = 69s = 2,595%t(10) = 2,228

нижняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 12 участков, средний урожай 46,5 kg, стандартное отклонение 1,5 kg. Группа участков 2: 14 участков, среднее 42,5 kg, стандартное отклонение 4 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 12x̄₁ = 46,5s₁ = 1,5n₂ = 14x̄₂ = 42,5s₂ = 499%t(24) = 2,797

нижняя граница = kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 202,3 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 202,3s = 4n = 25

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 16 измерений имеет среднее 99,3. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 99,3σ = 4n = 1699%

L =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 4.

n = 5x = 4

ŷ =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 3809 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·6 = 24

Будущая стоимость

FV = 3 000·(1 + 0,01)²⁴ = 3 000·1,27 = €3 809,20

Ответ

FV = €3 809,20

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 132,6 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·6 = 72

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,6983

A = 8 000·0,005/(1 − 0,6983) = €132,58

Ответ

A = €132,58

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −2227 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 5 000/1,05 = 4 761,90

CF₂/(1 + 0,05)² = 6 000/1,103 = 5 442,18

CF₃/(1 + 0,05)³ = 4 000/1,158 = 3 455,35

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 5 000/1,216 = 4 113,51

Сложите

NPV = €−2 227,06

Ответ

NPV = €−2 227,06

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 8,376 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

15 000·1,12² = 18 816,00

17 500·1,12¹ = 19 600,00

12 500·1,12⁰ = 12 500,00

TV = 50 916,00

MIRR

MIRR = (50 916,00/40 000)^1/3 − 1 = 8,376%

Ответ

MIRR = 8,376%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 911,3 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €15,00, i = 0,0275, N = 8

Приведённая стоимость купонов

€15,00·(1 − 0,8049)/0,0275 = €106,41

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,8049 = €804,91

Цена

P = €911,32

Ответ

P = €911,32

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 1,996 %

Уравнение для доходности

€1 180 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Численное решение

P(1%) = €1 284,14, P(2%) = €1 179,65

YTM = 1,996%

Ответ

YTM = 1,996%

7.CAPM и WACC

Ответ: r_m = 8 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Рыночная премия за риск

r_m − r_f = (11% − 2%)/1,5 = 6%

Доходность рынка

r_m = 2% + 6% = 8%

Ответ

r_m = 8%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 4,632 %

Рыночные стоимости

E = 2 000 000·€16,50 = €33 000 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2% + 0,6·6% = 5,6%

Веса

V = €52 200 000, E/V = 0,6322, D/V = 0,3678

WACC

WACC = 0,6322·5,6% + 0,3678·4%·(1 − 0,258) = 4,632%

Ответ

WACC = 4,632%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 15,3

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 190/5 = 38

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−2)² + (−8)² + (−20)² + 18² + 12² = 936

Стандартное отклонение

s = √(936/4) = 15,3

Ответ

s = 15,3

10.Описательная статистика

Ответ: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (158 − 170)/8 = −1,5

Ответ

z = −1,5

11.Вероятность

Ответ: σ = 0,8047

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Дисперсия

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Ответ

σ = 0,8047

12.Вероятность

Ответ: P = 0,3294

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,7⁷ = 0,08235

P(X = 1) = 7·0,3·0,7⁶ = 0,2471

Сложите

P = 0,08235 + 0,2471 = 0,3294

Ответ

P = 0,3294

13.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,9

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,6319)/2 = 0,8159

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8159 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,90

Ответ

z = 0,90

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 81,45 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Обратно к x

x = 65 + 1,645·10 = 81,45 баллов

Ответ

x = 81,45 баллов

15.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 67,32

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Предельная ошибка

E = 2,228·2,5/√11 = 1,679

Интервал

69 ± 1,679 → [67,32, 70,68]

Ответ

нижняя граница = 67,32

16.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 0,5734 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (11·1,5² + 13·4²)/24 = 9,698

s_p = 3,114

Предельная ошибка

E = 2,797·3,114·√(1/12 + 1/14) = 3,427

Интервал

4 ± 3,427 → [0,5734, 7,427]

Ответ

нижняя граница = 0,5734 kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,875

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Статистика критерия

t = (202,3 − 200)/0,8 = 2,875

Ответ

t = 2,875

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 96,72

Предельная ошибка

E = 2,576·4/√16 = 2,576

Граница интервала

L = 99,3 − 2,576 = 96,72

Ответ

L = 96,72

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9778

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 469/6 = 78,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 419

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2565

Коэффициент детерминации

r² = 419²/(70·2565) = 0,9778

Ответ

r² = 0,9778

Прямая объясняет около 97,78% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 64,1

Средние

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 391/5 = 78,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

Линия регрессии

b = 188/40 = 4,7

a = 78,2 − 4,7·7 = 45,3

ŷ = 45,3 + 4,7·x

Прогноз

ŷ = 45,3 + 4,7·4 = 64,1

Ответ

ŷ = 64,1

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income