CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 10 лет вам нужно €10 000. Счёт даёт 4,8 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €10 0004,8% / 12n = 10

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €10 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 7 лет под 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?

P = €10 0004,8% / 12N = 84

I = €

3.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €80 000 сегодня. Он приносит €18 000 в конце каждого года в течение 6 лет, а затем может быть продан за €20 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €80 000CF = €18 000S = €20 000n = 6r = 6%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €20 500, €15 500, €27 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −40 000CF₁ = 20 500CF₂ = 15 500CF₃ = 27 000

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 11 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €865 при доходности к погашению 3,5%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 11P = €865YTM = 3,5%

c = %

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €1 095 при доходности к погашению 7% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 3,9 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность вырастет на 150 базисных пунктов.

P₀ = €1 095y = 7%D = 3,9Δy = +150 bp

P = €

7.CAPM и WACCСредняя

Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €12 000 000, привилегированными акциями стоимостью €500 000 и долгом стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 14%, стоимость привилегированного капитала — 7,5%, стоимость долга до налогов — 3%. Ставка налога — 21%. Найдите WACC.

E = €12 000 000P_s = €500 000D = €3 000 000r_e = 14%r_p = 7,5%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

Бизнес компании имеет бету без учёта долга (бету активов) 1. Компания планирует соотношение долга и собственного капитала 1. Ставка налога — 30%, безрисковая ставка — 1%, рыночная премия за риск — 7%. Найдите стоимость собственного капитала r_e при новой структуре капитала.

β_U = 1D/E = 1T = 30%r_f = 1%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 20, 52, 56, 16, 51.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений больше 70?

μ = 60σ = 10x = 70

P =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,35, 0,05, 0,25, 0,15

σ =

12.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 3X + 1. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,3, 0,35, 0,25Y = 3X + 1

σ_Y =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 70,75 и 130 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 70,75x₂ = 130

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 85% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm85%

x = cm

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 11 элементов имеет среднее 37,5 и стандартное отклонение s = 15. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 11x̄ = 37,5s = 1590%t(10) = 1,812

нижняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 18. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 18E = 499%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 5 студентов, средний балл 93,5, стандартное отклонение 11. Группа 2: 12 студентов, средний балл 80,3, стандартное отклонение 9,5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 5x̄₁ = 93,5s₁ = 11n₂ = 12x̄₂ = 80,3s₂ = 9,5

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 40 из 100 пациентов, получавших лечение A, и 125 из 250 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 40n₁ = 100x₂ = 125n₂ = 250

z =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 149?

n = 6ŷ = 149

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 6194 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·10 = 120

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,615 = €6 193,76

Ответ

PV = €6 193,76

2.Временная стоимость денег

Ответ: I = 1794 €

Ежемесячный платёж

i = 0,004, N = 84

A = 10 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻⁸⁴) = €140,40

Всего процентов

I = N·A − P = 84·140,4 − 10 000 = €1 793,70

Ответ

I = €1 793,70

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 22611 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

18 000·4,917 = 88 511,84

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

20 000/1,419 = 14 099,21

NPV

NPV = −80 000 + 88 511,84 + 14 099,21 = €22 611,05

Ответ

NPV = €22 611,05

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 25,23 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(25%) = 144,00

NPV(30%) = −2 769,69

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 25 + 5·144,00/(144,00 − (−2 769,69)) = 25,25%

точно: NPV(25,23%) = 0 → IRR = 25,23%

Ответ

IRR = 25,23%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 2 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,035)⁻¹¹ = €684,95

Купон

C = (865 − 684,95)/9,002 = €20,00

Купонная ставка

c = 20/1000 = 2%

Ответ

c = 2%

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1035 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 3,9/1,07 = 3,645

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −3,645·(0,015) = −5,467%

P ≈ 1095·(1 − 0,05467) = €1 035,13

Ответ

P = €1 035,13

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 11,54 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = 12 000 000 + 500 000 + 3 000 000 = €15 500 000

E/V = 0,7742, P_s/V = 0,03226, D/V = 0,1935

WACC

WACC = 0,7742·14% + 0,03226·7,5% + 0,1935·3%·(1 − 0,21) = 11,54%

Ответ

WACC = 11,54%

8.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 12,9 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета с учётом долга

β_L = 1·(1 + 0,7·1) = 1,7

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1% + 1,7·7% = 12,9%

Ответ

r_e = 12,9%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 19,31

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 195/5 = 39

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−19)² + 13² + 17² + (−23)² + 12² = 1492

Стандартное отклонение

s = √(1492/4) = 19,31

Ответ

s = 19,31

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = 1

Таблица нормального распределения

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

11.Вероятность

Ответ: σ = 1,4

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,25 + 5·0,15 = 2,8

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,25 + 25·0,15 = 9,8

Дисперсия

Var(X) = 9,8 − 2,8² = 1,96

σ = √1,96 = 1,4

Ответ

σ = 1,4

12.Вероятность

Ответ: σ_Y = 2,826

Разброс X

μ = 1,75, Var(X) = 0,8875, σ_X = 0,9421

Линейное преобразование

σ_Y = |3|·0,9421 = 2,826

Ответ

σ_Y = 2,826

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·1,75 + 1 = 6,25.

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9517

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95

z₂ = (130 − 100)/15 = 2

Площадь между

P = Φ(2) − Φ(−1,95) = 0,9772 − 0,02559 = 0,9517

Ответ

P = 0,9517

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 170,7 cm

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,15

z из таблицы

z ≈ −1,04

Возврат к исходным единицам

x = 178 − 1,04·7 = 170,7 cm

Ответ

x = 170,7 cm

15.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 29,3

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Предельная ошибка

E = 1,812·15/√11 = 8,195

Интервал

37,5 ± 8,195 → [29,3, 45,7]

Ответ

нижняя граница = 29,3

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 135

Выразите n

n = (2,576·18/4)² = 134,4

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 135

Ответ

n = 135

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,499

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (4·11² + 11·9,5²)/15 = 98,45

s_p = 9,922

Стандартная ошибка

SE = 9,922·√(1/5 + 1/12) = 5,281

Статистика критерия

t = (93,5 − 80,3)/5,281 = 2,499

Ответ

t = 2,499

При df = 15 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,131; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,693

Выборочные доли

p̂₁ = 40/100 = 0,4

p̂₂ = 125/250 = 0,5

p̂ = 165/350 = 0,4714

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,4714·0,5286·(1/100 + 1/250)) = 0,05906

Статистика критерия

z = (0,4 − 0,5)/0,05906 = −1,693

Ответ

z = −1,693

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9902

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 94/5 = 18,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 404,8

Коэффициент корреляции

r = 126/√(40·404,8) = 0,9902

Ответ

r = 0,9902

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 27,03

Средние

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 764/6 = 127,3

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 376

Линия регрессии

b = 376/70 = 5,371

a = 127,3 − 5,371·23 = 3,79

ŷ = 3,79 + 5,371·x

Найдите x

x = (149 − 3,79)/5,371 = 27,03

Ответ

x = 27,03

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income