Вы инвестируете €10 000 под 4 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 3 лет.
PV = €10 000r = 4%t = 3
FV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Вы берёте в долг €8 000 под 2,4 % годовых с ежемесячной капитализацией и погашаете €150 в конце каждого месяца. Через сколько месяцев кредит будет погашен (последний платёж может быть меньше)? Укажите число платежей N.
P = €8 000A = €1502,4% / 12
N = платежей
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €9 000, €8 000, €10 000, €7 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект стоит €20 000 и приносит €11 000, €11 500 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −20 000CF1 = 11 000CF2 = 11 500
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 3%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 10 лет. Доходность к погашению — 3,5% годовых. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 3%YTM = 3,5%n = 10
P = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 5% погашается через 7 лет и продаётся за €945. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 5%n = 7P = €945
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €10 000 000 и долг стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 12%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 30%. Найдите WACC.
Рыночная стоимость собственного капитала компании — €10 000 000, стоимость собственного капитала — 10%. Её долг состоит из 5 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 4%, 8 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €905. Ставка налога — 30%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.
Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 40. Какая доля P значений меньше 560?
μ = 500σ = 40x = 560
P =
11.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 6 человек? Порядок не важен.
n = 6k = 2
N =
12.ВероятностьСложная
Игра стоит €1. Вы выигрываете €2 с вероятностью 0,3 и €50 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.
ставка = €1€2: p = 0,3€50: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальное распределениеСредняя
Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 77,5 и 115,75 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 100σ = 15x1 = 77,5x2 = 115,75
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 25 % значений (25-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 25%
x = баллов
15.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 15 элементов имеет среднее 62 и стандартное отклонение s = 13. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 15x̄ = 62s = 1395%t(14) = 2,145
верхняя граница =
16.Доверительные интервалыСложная
О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,025?
p = 0,5E = 0,02590%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 36 студентов имеет средний балл 104,3 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 104,3s = 15n = 36
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ > 100 проводится при α = 0,01 по выборке объёмом 64; стандартное отклонение известно и равно 12. В действительности среднее равно 105,4. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.
μ₀ = 100μ = 105,4σ = 12n = 64α = 0,01
β = %
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 2). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 6(3, 2)
e =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: FV = 11275 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Показатель степени
r·t = 0,04·3 = 0,12
e0,12 = 1,127
Будущая стоимость
FV = 10 000·1,127 = €11 274,97
Ответ
FV = €11 274,97
2.Временная стоимость денег
Ответ: N = 57 платежей
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Преобразуем формулу аннуитета
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0,002/150 = 0,8933
Решаем с помощью логарифмов
N = −ln(0,8933)/ln(1,002) = 56,45
Округляем вверх до целых платежей
После 56 полных платежей остаётся небольшой долг, который погашает последний, меньший платёж.
N = 57
Ответ
N = 57 платежей
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = 5980 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 9 000/1,12 = 8 035,71
CF2/(1 + 0,12)2 = 8 000/1,254 = 6 377,55
CF3/(1 + 0,12)3 = 10 000/1,405 = 7 117,80
CF4/(1 + 0,12)4 = 7 000/1,574 = 4 448,63
Сложите
NPV = €5 979,69
Ответ
NPV = €5 979,69
NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 8,161 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(5%) = 907,03
NPV(10%) = −495,87
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
IRR ≈ 5 + 5·907,03/(907,03 − (−495,87)) = 8,233%
точно: NPV(8,161%) = 0 → IRR = 8,161%
Ответ
IRR = 8,161%
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: P = 958,1 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €15,00, i = 0,0175, N = 20
Приведённая стоимость купонов
€15,00·(1 − 0,7068)/0,0175 = €251,29
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,7068 = €706,82
Цена
P = €958,12
Ответ
P = €958,12
Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: YTM = 5,985 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€945 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Численное решение
P(5%) = €1 000,00, P(6%) = €944,18
YTM = 5,985%
Ответ
YTM = 5,985%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 9,958 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1,5
Таблица нормального распределения
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Ответ
P = 0,9332
11.Вероятность
Ответ: N = 15
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15
Ответ
N = 15
12.Вероятность
Ответ: E(G) = 0,1 €
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Чистые исходы
G: 1 (p = 0,3), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,69)
Математическое ожидание
E(G) = 1·0,3 + 49·0,01 − 1·0,69 = 0,1 €
Ответ
E(G) = 0,1 €
Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,7863
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (77,5 − 100)/15 = −1,5
z₂ = (115,75 − 100)/15 = 1,05
Площадь между
P = Φ(1,05) − Φ(−1,5) = 0,8531 − 0,06681 = 0,7863
Ответ
P = 0,7863
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 58,26 баллов
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Обратно к x
x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 баллов
Ответ
x = 58,26 баллов
15.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 69,2
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Предельная ошибка
E = 2,145·13/√15 = 7,2
Интервал
62 ± 7,2 → [54,8, 69,2]
Ответ
верхняя граница = 69,2
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 1083
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Выразите n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,025² = 1082
Округлите вверх
n = 1083
Ответ
n = 1083
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,72
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5
Статистика критерия
t = (104,3 − 100)/2,5 = 1,72
Ответ
t = 1,72
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: β = 10,13 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критическое выборочное среднее
SE = 12/√64 = 1,5
x̄c = 100 + 2,326·1,5 = 103,5
z при истинном среднем
z = (103,5 − 105,4)/1,5 = −1,274
Ошибка второго рода
мощность = P(Z > −1,274) = 89,87%
β = 100% − 89,87% = 10,13%
Ответ
β = 10,13%
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,9538
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 107/5 = 21,4
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Syy = Σ(y − ȳ)² = 53,2
Коэффициент корреляции
r = −22/√(10·53,2) = −0,9538
Ответ
r = −0,9538
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = −5
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 90/6 = 15
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140
Линия регрессии
b = 140/70 = 2
a = 15 − 2·7 = 1
ŷ = 1 + 2·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 1 + 2·3 = 7
Остаток
e = 2 − 7 = −5
Ответ
e = −5
Точка лежит ниже прямой.
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.