CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €5 000 под номинальную ставку 4,8 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 9 лет.

PV = €5 0004,8% / 12n = 9

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €2 500 в начале каждого года в течение 23 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 5 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 23? Найдите FV.

A = €2 500i = 5%n = 23

FV = €

3.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €100 000 сегодня. Он приносит €18 500 в конце каждого года в течение 6 лет, а затем может быть продан за €25 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €100 000CF = €18 500S = €25 000n = 6r = 12%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €5 500, €3 500, €6 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 12 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 12%CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 3 500CF₃ = 6 000

MIRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 2%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 5 лет. Доходность к погашению — 5,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 2%YTM = 5,5%n = 5

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 6% погашается через 5 лет и продаётся за €1 090. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 6%n = 5P = €1 090

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €5 000 000 и долг стоимостью €6 000 000. Стоимость собственного капитала — 11%, стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.

E = €5 000 000D = €6 000 000r_e = 11%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 2 500 000 акций по €16,50 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 25%. Бета акции — 1,1, безрисковая ставка — 2,5%, доходность рынка — 8,5%. Найдите WACC.

β = 1,1r_f = 2,5%r_m = 8,5%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 38, 24, 21, 40, 51, 52.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений меньше 175?

μ = 170σ = 5x = 175

P =

11.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 6 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 6

P =

12.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 5. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,3, 0,3, 0,25Y = 5X + 5

σ_Y =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 96,25 и 127 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 96,25x₂ = 127

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 70% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h70%

x = h

15.Доверительные интервалыСредняя

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 25 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 5,1. Какой будет предельная ошибка E₂ 90 % интервала по 50 наблюдениям?

95%n₁ = 25E₁ = 5,190%n₂ = 50

E₂ =

16.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,05?

p = 0,5E = 0,0599%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 500; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 6. Случайная выборка из 144 наблюдений имеет среднее 501,11. Проверьте H₀: μ = 500 против H₁: μ > 500. Найдите p-значение p.

μ₀ = 500σ = 6n = 144x̄ = 501,11H₁: μ > μ₀

p =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1? Стандартное отклонение — 20. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 20E = 190%

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 7695 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,048/12 = 0,004

N = m·n = 12·9 = 108

Будущая стоимость

FV = 5 000·(1 + 0,004)¹⁰⁸ = 5 000·1,539 = €7 695,04

Ответ

FV = €7 695,04

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 108755 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,05)²³ − 1)/0,05 = 41,43

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 2 500·41,43·1,05 = €108 755,00

Ответ

FV = €108 755,00

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −11273 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

18 500·4,111 = 76 061,04

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

25 000/1,974 = 12 665,78

NPV

NPV = −100 000 + 76 061,04 + 12 665,78 = −€11 273,19

Ответ

NPV = −€11 273,19

4.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 18,92 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

5 500·1,12² = 6 899,20

3 500·1,12¹ = 3 920,00

6 000·1,12⁰ = 6 000,00

TV = 16 819,20

MIRR

MIRR = (16 819,20/10 000)^1/3 − 1 = 18,92%

Ответ

MIRR = 18,92%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 848,8 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €10,00, i = 0,0275, N = 10

Приведённая стоимость купонов

€10,00·(1 − 0,7624)/0,0275 = €86,40

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,7624 = €762,40

Цена

P = €848,80

Ответ

P = €848,80

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 3,98 %

Уравнение для доходности

€1 090 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Численное решение

P(3%) = €1 137,39, P(4%) = €1 089,04

YTM = 3,98%

Ответ

YTM = 3,98%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,155 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €11 000 000, E/V = 0,4545, D/V = 0,5455

WACC

WACC = 0,4545·11% + 0,5455·5%·(1 − 0,21) = 7,155%

Ответ

WACC = 7,155%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,862 %

Рыночные стоимости

E = 2 500 000·€16,50 = €41 250 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,1·6% = 9,1%

Веса

V = €51 750 000, E/V = 0,7971, D/V = 0,2029

WACC

WACC = 0,7971·9,1% + 0,2029·4%·(1 − 0,25) = 7,862%

Ответ

WACC = 7,862%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 13,06

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 226/6 = 37,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 0,3333² + (−13,67)² + (−16,67)² + 2,333² + 13,33² + 14,33² = 853,3

Стандартное отклонение

s = √(853,3/5) = 13,06

Ответ

s = 13,06

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = 1

Таблица нормального распределения

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

11.Вероятность

Ответ: P = 0,6651

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Ответ

P = 0,6651

12.Вероятность

Ответ: σ_Y = 50,68

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 26,5, Var(X) = 102,8, σ_X = 10,14

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·10,14 = 50,68

Ответ

σ_Y = 50,68

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·26,5 + 5 = 137,5.

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5628

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (96,25 − 100)/15 = −0,25

z₂ = (127 − 100)/15 = 1,8

Площадь между

P = Φ(1,8) − Φ(−0,25) = 0,9641 − 0,4013 = 0,5628

Ответ

P = 0,5628

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 479 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,3

z из таблицы

z ≈ −0,52

Возврат к исходным единицам

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

Ответ

x = 479 h

15.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 3,027

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(25/50) = 0,5935

Новая предельная ошибка

E₂ = 5,1·0,5935 = 3,027

Ответ

E₂ = 3,027

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 664

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,05² = 663,6

Округлите вверх

n = 664

Ответ

n = 664

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,01321

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 6/√144 = 0,5

z = (501,11 − 500)/0,5 = 2,22

Площадь хвоста

Φ(2,22) = 0,9868

1 − Φ(2,22) = 0,0132

p-значение

p = 0,01321

Ответ

p = 0,01321

p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 1083

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,645·20/1)² = 1082

Округлите вверх

n = 1083

Ответ

n = 1083

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9595

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 108/6 = 18

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 86

Коэффициент детерминации

r² = −38²/(17,5·86) = 0,9595

Ответ

r² = 0,9595

Прямая объясняет около 95,95% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 41,8

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 223/5 = 44,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112

Линия регрессии

b = 112/40 = 2,8

a = 44,6 − 2,8·6 = 27,8

ŷ = 27,8 + 2,8·x

Прогноз

ŷ = 27,8 + 2,8·5 = 41,8

Ответ

ŷ = 41,8

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income