CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €3 000 под номинальную ставку 6 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 8 лет.

PV = €3 0006% / 12n = 8

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Ипотечный кредит €250 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 20 лет под 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 13? Найдите остаток долга B.

P = €250 0003,6% / 12N = 240k = 156

B = €

3.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €250 000 сегодня. Он приносит €18 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 3 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €250 000CF₁ = €18 000g = 3%r = 12%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €27 000, €27 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −40 000CF₁ = 27 000CF₂ = 27 000

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 7 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €1 116 при доходности к погашению 5%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 7P = €1 116YTM = 5%

c = %

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация со сроком до погашения 12 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 6%) продаётся за €1 242. Эмитент может досрочно погасить её через 6 лет по цене отзыва €1 060. Найдите доходность к отзыву YTC в процентах.

F = €1 000купон = 6%P = €1 242цена отзыва = €1 060отзыв через 6 годы

YTC = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €4 000 000 и долг стоимостью €2 000 000. Стоимость собственного капитала — 8%, стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 20%. Найдите WACC.

E = €4 000 000D = €2 000 000r_e = 8%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 4 000 000 акций по €43,00 за штуку и 20 000 облигаций рыночной стоимостью €960 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 25%. Бета акции — 1,5, безрисковая ставка — 1,5%, доходность рынка — 5,5%. Найдите WACC.

β = 1,5r_f = 1,5%r_m = 5,5%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 32, 49, 25, 49, 28, 26.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 73?

μ = 70σ = 5x = 73

P =

11.ВероятностьСредняя

В мешочке 6 красных и 5 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

6 / 5

P =

12.ВероятностьСложная

Испытывают 8 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,6. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 8p = 0,6

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 6 из них превышает 151,8 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6> 151,8 kg

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 75% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов75%

x = баллов

15.Доверительные интервалыСредняя

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 36 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 2,1. Какой будет предельная ошибка E₂ 90 % интервала по тем же данным?

95%n₁ = 36E₁ = 2,190%

E₂ =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 28. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?

σ = 28E = 299%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 206 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 206s = 10n = 16

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 118,3. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 118,3σ = 15n = 8199%

U =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3,5, 56). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 56)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 4842 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,06/12 = 0,005

N = m·n = 12·8 = 96

Будущая стоимость

FV = 3 000·(1 + 0,005)⁹⁶ = 3 000·1,614 = €4 842,43

Ответ

FV = €4 842,43

2.Временная стоимость денег

Ответ: B = 108471 €

Ежемесячный платёж

i = 0,003, N = 240

A = 250 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻²⁴⁰) = €1 462,78

Приведённая стоимость оставшихся платежей

Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.

N − k = 240 − 156 = 84

B = 1463·(1 − (1 + 0,003)⁻⁸⁴)/0,003 = €108 470,89

Ответ

B = €108 470,89

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −50000 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 18 000/(0,12 − 0,03) = 200 000,00

NPV

NPV = 200 000,00 − 250 000 = −€50 000,00

Ответ

NPV = −€50 000,00

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 22,57 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(20%) = 1 250,00

NPV(25%) = −1 120,00

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 20 + 5·1 250,00/(1 250,00 − (−1 120,00)) = 22,64%

точно: NPV(22,57%) = 0 → IRR = 22,57%

Ответ

IRR = 22,57%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 7,005 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,05)⁻⁷ = €710,68

Купон

C = (1116 − 710,68)/5,786 = €70,05

Купонная ставка

c = 70,05/1000 = 7,005%

Ответ

c = 7,005%

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTC = 2,539 %

Уравнение для доходности

1242 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1060/(1 + y)⁶

Численное решение

y = 2%: €1 277,34

y = 3%: €1 212,76

YTC = 2,539%

Ответ

YTC = 2,539%

Доходность к погашению равна 3,496%. Инвесторы в облигацию, торгующуюся с премией, ожидают её отзыва, поэтому более низкая доходность к отзыву реалистичнее.

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,933 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·8% + 0,3333·6%·(1 − 0,2) = 6,933%

Ответ

WACC = 6,933%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,274 %

Рыночные стоимости

E = 4 000 000·€43,00 = €172 000 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,5·4% = 7,5%

Веса

V = €191 200 000, E/V = 0,8996, D/V = 0,1004

WACC

WACC = 0,8996·7,5% + 0,1004·7%·(1 − 0,25) = 7,274%

Ответ

WACC = 7,274%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 11,23

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 209/6 = 34,83

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−2,833)² + 14,17² + (−9,833)² + 14,17² + (−6,833)² + (−8,833)² = 630,8

Стандартное отклонение

s = √(630,8/5) = 11,23

Ответ

s = 11,23

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,2743

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблица нормального распределения

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Ответ

P = 0,2743

11.Вероятность

Ответ: P = 0,2727

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0,2727

Ответ

P = 0,2727

12.Вероятность

Ответ: P = 0,00852

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,4⁸ = 0,0006554

P(X = 1) = 8·0,6·0,4⁷ = 0,007864

Сложите

P = 0,0006554 + 0,007864 = 0,00852

Ответ

P = 0,00852

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,07078

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 150 kg, σ_T = 0,5·√6 = 1,225 kg

Стандартизуйте

z = (151,8 − 150)/1,225 = 1,47

Вероятность

P = 1 − Φ(1,47) = 0,07078

Ответ

P = 0,07078

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 90 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,25

z из таблицы

z ≈ −0,67

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 0,67·15 = 90 баллов

Ответ

x = 90 баллов

15.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 1,763

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(36/36) = 0,8393

Новая предельная ошибка

E₂ = 2,1·0,8393 = 1,763

Ответ

E₂ = 1,763

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1301

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·28/2)² = 1301

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 1301

Ответ

n = 1301

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5

Статистика критерия

t = (206 − 200)/2,5 = 2,4

Ответ

t = 2,4

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 122,6

Предельная ошибка

E = 2,576·15/√81 = 4,293

Граница интервала

U = 118,3 + 4,293 = 122,6

Ответ

U = 122,6

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9483

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 77/6 = 12,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 98,83

Коэффициент детерминации

r² = −40,5²/(17,5·98,83) = 0,9483

Ответ

r² = 0,9483

Прямая объясняет около 94,83% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 3,1

Средние

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 274/5 = 54,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38

Линия регрессии

b = 38/10 = 3,8

a = 54,8 − 3,8·4 = 39,6

ŷ = 39,6 + 3,8·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 39,6 + 3,8·3,5 = 52,9

Остаток

e = 56 − 52,9 = 3,1

Ответ

e = 3,1

Точка лежит выше прямой.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income