Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €10 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 3 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 8 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €10 000g = 3%r = 8%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €25 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 5 лет. Ставка — 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.
P = €25 0005,4% / 12N = 60
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Проект стоит €30 000 сегодня и приносит €8 500 в конце каждого года в течение 5 лет. Стоимость капитала — 10 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.
Проект стоит €50 000 и приносит €34 500, €22 000, €19 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −50 000CF1 = 34 500CF2 = 22 000CF3 = 19 000
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 6 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 3%) при доходности к погашению 9%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 10,5%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.
F = €1 000купон = 3%n = 6y0 = 9%y1 = 10,5%
HPR = %
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 4% погашается через 8 лет и продаётся за €935. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 4%n = 8P = €935
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €10 000 000 и долг стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 8%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.
У компании 2 500 000 акций по €27,00 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €960 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 25%. Бета акции — 1,3, безрисковая ставка — 4%, доходность рынка — 10,5%. Найдите WACC.
X нормальна со средним 250 g и стандартным отклонением 4 g; Y независима и нормальна со средним 500 g и стандартным отклонением 9 g. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 754,9 g. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 754,9 g
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 80 % значений (80-й процентиль).
μ = 178σ = 7P = 80%
x = cm
15.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 21 элементов имеет среднее 60 и стандартное отклонение s = 4,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.
n = 21x̄ = 60s = 4,590%t(20) = 1,725
верхняя граница =
16.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 25 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 2 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 24 2,5 % распределения χ² лежит ниже 12,401 и 2,5 % — выше 39,364.
n = 25s = 2 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 7 студентов, средний балл 25,5, стандартное отклонение 10,5. Группа 2: 7 студентов, средний балл 22,3, стандартное отклонение 2. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).
n₁ = 7x̄₁ = 25,5s₁ = 10,5n₂ = 7x̄₂ = 22,3s₂ = 2
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 70 из 100 пациентов, получавших лечение A, и 55 из 100 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 70n₁ = 100x₂ = 55n₂ = 100
z =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (9, 68). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 5(9, 68)
e =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 200000 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Месячная ставка и число платежей
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·5 = 60
Платёж
Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.
(1 + i)−N = 0,7638
A = 25 000·0,0045/(1 − 0,7638) = €476,38
Ответ
A = €476,38
3.NPV и IRR
Ответ: DPB = 4,579 годы
Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.
Дисконтированные и накопленные денежные потоки
год 1: 8 500/1,1 = 7 727,27 → Σ = 7 727,27
год 2: 8 500/1,21 = 7 024,79 → Σ = 14 752,07
год 3: 8 500/1,331 = 6 386,18 → Σ = 21 138,24
год 4: 8 500/1,464 = 5 805,61 → Σ = 26 943,86
год 5: 8 500/1,611 = 5 277,83 → Σ = 32 221,69
Доля последнего года
DPB = 4 + 3 056,14/5 277,83 = 4,579
Ответ
DPB = 4,579 годы
Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,529 лет).
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 27,13 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(25%) = 1 408,00
NPV(30%) = −1 795,63
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€935 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Численное решение
P(5%) = €935,37, P(6%) = €875,80
YTM = 5,006%
Ответ
YTM = 5,006%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 6,883 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308
WACC
WACC = 0,7692·8% + 0,2308·4%·(1 − 0,21) = 6,883%
Ответ
WACC = 6,883%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 11,55 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 0,4
Таблица нормального распределения
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Ответ
P = 0,6554
11.Вероятность
Ответ: N = 55
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55
Ответ
N = 55
12.Вероятность
Ответ: σY = 0,7433
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 2,7, Var(X) = 2,21, σX = 1,487
Линейное преобразование
σY = |0,5|·1,487 = 0,7433
Ответ
σY = 0,7433
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 0,5·2,7 − 3 = −1,65.
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,3085
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Стандартизуйте
z = (754,9 − 750)/9,849 = 0,5
Верхний хвост
P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085
Ответ
P = 0,3085
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 183,9 cm
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Обратно к x
x = 178 + 0,8416·7 = 183,89 cm
Ответ
x = 183,89 cm
15.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 61,69
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Предельная ошибка
E = 1,725·4,5/√21 = 1,694
Интервал
60 ± 1,694 → [58,31, 61,69]
Ответ
верхняя граница = 61,69
16.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 2,782 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 24·2² = 96
Границы для σ²
96/39,364 = 2,439
96/12,401 = 7,741
Граница для σ
σ = √7,741 = 2,782 µm
Ответ
σ = 2,782 µm
95 % интервал для σ: [1,562, 2,782] µm.
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 0,7921
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Объединённая дисперсия
sp² = (6·10,5² + 6·2²)/12 = 57,13
sp = 7,558
Стандартная ошибка
SE = 7,558·√(1/7 + 1/7) = 4,04
Статистика критерия
t = (25,5 − 22,3)/4,04 = 0,7921
Ответ
t = 0,7921
При df = 12 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,179; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = 2,191
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 70/100 = 0,7
p̂₂ = 55/100 = 0,55
p̂ = 125/200 = 0,625
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,625·0,375·(1/100 + 1/100)) = 0,06847
Статистика критерия
z = (0,7 − 0,55)/0,06847 = 2,191
Ответ
z = 2,191
|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,7555
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 118/5 = 23,6
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −11
Syy = Σ(y − ȳ)² = 21,2
Коэффициент корреляции
r = −11/√(10·21,2) = −0,7555
Ответ
r = −0,7555
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = −5,2
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 306/5 = 61,2
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160
Линия регрессии
b = 160/40 = 4
a = 61,2 − 4·6 = 37,2
ŷ = 37,2 + 4·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 37,2 + 4·9 = 73,2
Остаток
e = 68 − 73,2 = −5,2
Ответ
e = −5,2
Точка лежит ниже прямой.
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.