Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €12 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 2,5 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 4,5 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €12 000g = 2,5%r = 4,5%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €25 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 3 лет. Ставка — 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.
P = €25 0003% / 12N = 36
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Проект стоит €500 000 сегодня. Он приносит €45 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 1 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 11 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €500 000CF1 = €45 000g = 1%r = 11%
NPV = €
4.NPV и IRRСложная
Проект стоит €40 000 и приносит €17 000, €18 500, €23 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 10 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.
Облигация номиналом €1 000 погашается через 12 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €874 при доходности к погашению 6%. Найдите купонную ставку c в процентах.
F = €1 000n = 12P = €874YTM = 6%
c = %
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 3% погашается через 3 лет и продаётся за €1 030. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 3%n = 3P = €1 030
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €4 000 000 и долг стоимостью €5 000 000. Стоимость собственного капитала — 9%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3%, ставка налога — 30%. Найдите WACC.
E = €4 000 000D = €5 000 000re = 9%rd = 3%T = 30%
WACC = %
8.CAPM и WACCСложная
Рыночная стоимость собственного капитала компании — €8 000 000, стоимость собственного капитала — 14%. Её долг состоит из 2 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 6%, 9 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €1 109. Ставка налога — 28%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8415. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,8415
z =
14.Нормальное распределениеСложная
Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).
μ = 100σ = 15P = 95%
x = баллов
15.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 109 h, известное стандартное отклонение 13 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 113,5 h, известное стандартное отклонение 7 h. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,6 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,02?
p ≈ 0,6E = 0,0299%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
11 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 10,24, стандартное отклонение разностей — 9,7. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 11d̄ = 10,24sd = 9,7
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 81 измерений имеет среднее 99,6. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 5. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 99,6σ = 5n = 8199%
U =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6Σx = 21Σy = 249Σx² = 91Σy² = 10567Σxy = 930
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 54?
n = 6ŷ = 54
x =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 600000 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Месячная ставка и число платежей
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·3 = 36
Платёж
Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.
(1 + i)−N = 0,914
A = 25 000·0,0025/(1 − 0,914) = €727,03
Ответ
A = €727,03
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = −50000 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Стоимость денежных потоков
PV = 45 000/(0,11 − 0,01) = 450 000,00
NPV
NPV = 450 000,00 − 500 000 = −€50 000,00
Ответ
NPV = −€50 000,00
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: MIRR = 16,91 %
Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Конечная стоимость поступлений
17 000·1,12 = 20 570,00
18 500·1,11 = 20 350,00
23 000·1,10 = 23 000,00
TV = 63 920,00
MIRR
MIRR = (63 920,00/40 000)1/3 − 1 = 16,91%
Ответ
MIRR = 16,91%
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: c = 4,497 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Приведённая стоимость номинала
1000·(1 + 0,06)−12 = €496,97
Купон
C = (874 − 496,97)/8,384 = €44,97
Купонная ставка
c = 44,97/1000 = 4,497%
Ответ
c = 4,497%
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: YTM = 1,961 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€1 030 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Численное решение
P(1%) = €1 058,82, P(2%) = €1 028,84
YTM = 1,961%
Ответ
YTM = 1,961%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 5,167 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556
WACC
WACC = 0,4444·9% + 0,5556·3%·(1 − 0,3) = 5,167%
Ответ
WACC = 5,167%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 11,66 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (85 − 100)/10 = −1,5
Ответ
z = −1,5
11.Вероятность
Ответ: σ = 9,734
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 2,85, Var(X) = 1,228, σX = 1,108
Линейное преобразование
σY = |10|·1,108 = 11,08
Ответ
σY = 11,08
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 10·2,85 + 5 = 33,5.
13.Нормальное распределение
Ответ: z = 1,41
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = (1 + 0,8415)/2 = 0,9207
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,9207 внутри таблицы и считайте z.
z = 1,41
Ответ
z = 1,41
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 124,7 баллов
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Обратно к x
x = 100 + 1,645·15 = 124,67 баллов
Ответ
x = 124,67 баллов
15.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = −8,571 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 109 − 113,5 = −4,5
Стандартная ошибка
SE = √(13²/30 + 7²/100) = 2,475
Предельная ошибка
E = 1,645·2,475 = 4,071
Интервал
−4,5 ± 4,071 → [−8,571, −0,4294]
Ответ
нижняя граница = −8,571 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 3982
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Выразите n
n = 2,576²·0,6·0,4/0,02² = 3981
Округлите вверх
n = 3982
Ответ
n = 3982
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 3,501
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 9,7/√11 = 2,925
Статистика критерия
t = 10,24/2,925 = 3,501
Ответ
t = 3,501
При df = 10 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,228; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 101
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 2,576·5/√81 = 1,431
Граница интервала
U = 99,6 + 1,431 = 101
Ответ
U = 101
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9152
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 930 − 21·249/6 = 58,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 10567 − 249²/6 = 233,5
Коэффициент корреляции
r = 58,5/√(17,5·233,5) = 0,9152
Ответ
r = 0,9152
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 5,594
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 306/6 = 51
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48
Линия регрессии
b = 48/17,5 = 2,743
a = 51 − 2,743·4,5 = 38,66
ŷ = 38,66 + 2,743·x
Найдите x
x = (54 − 38,66)/2,743 = 5,594
Ответ
x = 5,594
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.