CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 4 лет вам нужно €5 000. Счёт даёт 3 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €5 0003% / 12n = 4

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €200 в конце каждого месяца в течение 27 лет. Счёт даёт 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €2005,4% / 12N = 324

FV = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €6 000, €6 000, €5 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 6 000CF₃ = 5 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €13 500, €14 500, €8 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 6 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 6%CF₀ = −25 000CF₁ = 13 500CF₂ = 14 500CF₃ = 8 000

MIRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 3%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 6 лет. Доходность к погашению — 8% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 3%YTM = 8%n = 6

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 7 лет и продаётся за €900. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 7%n = 7P = €900

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

Соотношение заёмного и собственного капитала компании (по рыночной стоимости) равно 0,75. Стоимость её собственного капитала — 13%, стоимость долга до налогов — 6%, ставка налога — 20%. Найдите WACC.

D/E = 0,75r_e = 13%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 1 000 000 акций по €20,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €1 020 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 30%. Бета акции — 1,3, безрисковая ставка — 3,5%, доходность рынка — 9%. Найдите WACC.

β = 1,3r_f = 3,5%r_m = 9%r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 52, 12, 16, 40, 49.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 50. Какая доля P значений больше 400?

μ = 500σ = 50x = 400

P =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,1, 0,15, 0,3, 0,25

Var(X) =

12.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 4. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,3, 0,3, 0,15Y = 5X + 4

σ_Y =

13.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,7580. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,7580

z =

14.Нормальное распределениеСложная

Время круга X бегуна A и время круга Y бегуна B независимы и нормально распределены: X имеет среднее 52 s и стандартное отклонение 4 s, Y имеет среднее 48 s и стандартное отклонение 3 s. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.Доверительные интервалыСредняя

90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 25 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 7,7. Какой будет предельная ошибка E₂ 95 % интервала по 100 наблюдениям?

90%n₁ = 25E₁ = 7,795%n₂ = 100

E₂ =

16.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,05?

p = 0,5E = 0,0599%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 53,4 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 53,4s = 12n = 36

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1? Стандартное отклонение — 5. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 5E = 195%

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 37?

n = 6ŷ = 37

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 4435 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·4 = 48

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,127 = €4 435,27

Ответ

PV = €4 435,27

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 145926 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·27 = 324

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(4,283 − 1)/0,0045 = €145 925,50

Ответ

FV = €145 925,50

Сами вы внесли €64 800; остальное — проценты.

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −6301 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 6 000/1,12 = 5 357,14

CF₂/(1 + 0,12)² = 6 000/1,254 = 4 783,16

CF₃/(1 + 0,12)³ = 5 000/1,405 = 3 558,90

Сложите

NPV = €−6 300,79

Ответ

NPV = €−6 300,79

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 15,52 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

13 500·1,06² = 15 168,60

14 500·1,06¹ = 15 370,00

8 000·1,06⁰ = 8 000,00

TV = 38 538,60

MIRR

MIRR = (38 538,60/25 000)^1/3 − 1 = 15,52%

Ответ

MIRR = 15,52%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 765,4 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €15,00, i = 0,04, N = 12

Приведённая стоимость купонов

€15,00·(1 − 0,6246)/0,04 = €140,78

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,6246 = €624,60

Цена

P = €765,37

Ответ

P = €765,37

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 8,986 %

Уравнение для доходности

€900 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Численное решение

P(8%) = €947,94, P(9%) = €899,34

YTM = 8,986%

Ответ

YTM = 8,986%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,486 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса из D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714

D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·13% + 0,4286·6%·(1 − 0,2) = 9,486%

Ответ

WACC = 9,486%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 5,617 %

Рыночные стоимости

E = 1 000 000·€20,00 = €20 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,3·5,5% = 10,65%

Веса

V = €60 800 000, E/V = 0,3289, D/V = 0,6711

WACC

WACC = 0,3289·10,65% + 0,6711·4,5%·(1 − 0,3) = 5,617%

Ответ

WACC = 5,617%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 18,66

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 169/5 = 33,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 18,2² + (−21,8)² + (−17,8)² + 6,2² + 15,2² = 1393

Стандартное отклонение

s = √(1393/4) = 18,66

Ответ

s = 18,66

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = −2

Таблица нормального распределения

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

11.Вероятность

Ответ: Var(X) = 2,11

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,2 + 1·0,1 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,25 = 2,3

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,1 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,25 = 7,4

Дисперсия

Var(X) = 7,4 − 2,3² = 2,11

Ответ

Var(X) = 2,11

12.Вероятность

Ответ: σ_Y = 10,14

Разброс X

μ = 2,7, Var(X) = 4,11, σ_X = 2,027

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·2,027 = 10,14

Ответ

σ_Y = 10,14

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·2,7 + 4 = 17,5.

13.Нормальное распределение

Ответ: z = −0,7

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,7580 = 0,2420

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,2420 внутри таблицы и считайте z.

z = −0,70

Ответ

z = −0,70

14.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

15.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 4,587

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(25/100) = 0,5957

Новая предельная ошибка

E₂ = 7,7·0,5957 = 4,587

Ответ

E₂ = 4,587

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 664

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,05² = 663,6

Округлите вверх

n = 664

Ответ

n = 664

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,7

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Статистика критерия

t = (53,4 − 50)/2 = 1,7

Ответ

t = 1,7

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 97

Выразите n

n = (1,96·5/1)² = 96,04

Округлите вверх

n = 97

Ответ

n = 97

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9515

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 145/6 = 24,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 70,83

Коэффициент корреляции

r = −33,5/√(17,5·70,83) = −0,9515

Ответ

r = −0,9515

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 2,496

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 254/6 = 42,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 93

Линия регрессии

b = 93/17,5 = 5,314

a = 42,33 − 5,314·3,5 = 23,73

ŷ = 23,73 + 5,314·x

Найдите x

x = (37 − 23,73)/5,314 = 2,496

Ответ

x = 2,496

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income