CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Аннуитет выплачивает €3 000 в конце каждого года в течение 6 лет. Процентная ставка — 5 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.

A = €3 000i = 5%n = 6

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы берёте в долг €8 000 под 2,4 % годовых с ежемесячной капитализацией и погашаете €100 в конце каждого месяца. Через сколько месяцев кредит будет погашен (последний платёж может быть меньше)? Укажите число платежей N.

P = €8 000A = €1002,4% / 12

N = платежей

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €45 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €14 000, €20 000, €22 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 12%CF₀ = −45 000CF₁ = 14 000CF₂ = 20 000CF₃ = 22 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €20 000 и приносит €7 000, €10 500, €6 500, €11 500 в конце годов с 1-го по 4-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 6 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 10 500CF₃ = 6 500CF₄ = 11 500

MIRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 5%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 3 лет. Доходность к погашению — 5,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 5%YTM = 5,5%n = 3

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €980 при доходности к погашению 4% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 11 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность снизится на 150 базисных пунктов.

P₀ = €980y = 4%D = 11Δy = −150 bp

P = €

7.CAPM и WACCСредняя

Соотношение заёмного и собственного капитала компании (по рыночной стоимости) равно 0,5. Стоимость её собственного капитала — 9%, стоимость долга до налогов — 4,5%, ставка налога — 30%. Найдите WACC.

D/E = 0,5r_e = 9%r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 4 000 000 акций по €25,50 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 30%. Бета акции — 1,2, безрисковая ставка — 1%, доходность рынка — 5,5%. Найдите WACC.

β = 1,2r_f = 1%r_m = 5,5%r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 23, 48, 22, 54, 42, 25.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 70.

μ = 100σ = 20x = 70

z =

11.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 5 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 5

P =

12.ВероятностьСложная

В тесте 12 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,5, независимо. Какова вероятность P ровно 1 верных ответов?

n = 12p = 0,5k = 1

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 65 и 75 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 65x₂ = 75

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 80 % значений (80-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 15 элементов имеет среднее 109 и стандартное отклонение s = 16. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 15x̄ = 109s = 1695%t(14) = 2,145

верхняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 21 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 10,2 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 20 2,5 % распределения χ² лежит ниже 9,591 и 2,5 % — выше 34,17.

n = 21s = 10,2 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 200,5 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 200,5s = 4n = 100

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 1,5 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 11. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,01мощность = 80%δ = 1,5σ = 11z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 8). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(3, 8)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 15227 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,7462)/0,05 = 5,076

Приведённая стоимость

PV = 3 000·5,076 = €15 227,08

Ответ

PV = €15 227,08

2.Временная стоимость денег

Ответ: N = 88 платежей

Преобразуем формулу аннуитета

i = 0,002

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0,002/100 = 0,84

Решаем с помощью логарифмов

N = −ln(0,84)/ln(1,002) = 87,26

Округляем вверх до целых платежей

После 87 полных платежей остаётся небольшой долг, который погашает последний, меньший платёж.

N = 88

Ответ

N = 88 платежей

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −897 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 14 000/1,12 = 12 500,00

CF₂/(1 + 0,12)² = 20 000/1,254 = 15 943,88

CF₃/(1 + 0,12)³ = 22 000/1,405 = 15 659,17

Сложите

NPV = €−896,96

Ответ

NPV = €−896,96

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 17,81 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

7 000·1,06³ = 8 337,11

10 500·1,06² = 11 797,80

6 500·1,06¹ = 6 890,00

11 500·1,06⁰ = 11 500,00

TV = 38 524,91

MIRR

MIRR = (38 524,91/20 000)^1/4 − 1 = 17,81%

Ответ

MIRR = 17,81%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 986,3 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €25,00, i = 0,0275, N = 6

Приведённая стоимость купонов

€25,00·(1 − 0,8498)/0,0275 = €136,56

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,8498 = €849,78

Цена

P = €986,34

Ответ

P = €986,34

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1135 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 11/1,04 = 10,58

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −10,58·(−0,015) = 15,87%

P ≈ 980·(1 + 0,1587) = €1 135,48

Ответ

P = €1 135,48

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,05 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса из D/E

E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667

D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·9% + 0,3333·4,5%·(1 − 0,3) = 7,05%

Ответ

WACC = 7,05%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,097 %

Рыночные стоимости

E = 4 000 000·€25,50 = €102 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1% + 1,2·4,5% = 6,4%

Веса

V = €112 500 000, E/V = 0,9067, D/V = 0,09333

WACC

WACC = 0,9067·6,4% + 0,09333·4,5%·(1 − 0,3) = 6,097%

Ответ

WACC = 6,097%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 14,07

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 214/6 = 35,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−12,67)² + 12,33² + (−13,67)² + 18,33² + 6,333² + (−10,67)² = 989,3

Стандартное отклонение

s = √(989,3/5) = 14,07

Ответ

s = 14,07

10.Описательная статистика

Ответ: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (70 − 100)/20 = −1,5

Ответ

z = −1,5

11.Вероятность

Ответ: P = 0,5981

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Ответ

P = 0,5981

12.Вероятность

Ответ: P = 0,00293

Формула Бернулли

P(X = 1) = 12·0,5¹·0,5¹¹ = 12·0,5·0,0004883 = 0,00293

Ответ

P = 0,00293

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3413

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (65 − 65)/10 = 0

z₂ = (75 − 65)/10 = 1

Площадь между

P = Φ(1) − Φ(0) = 0,8413 − 0,5 = 0,3413

Ответ

P = 0,3413

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 533,7 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Обратно к x

x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h

Ответ

x = 533,66 h

15.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 117,9

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Предельная ошибка

E = 2,145·16/√15 = 8,861

Интервал

109 ± 8,861 → [100,1, 117,9]

Ответ

верхняя граница = 117,9

16.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 7,804 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 20·10,2² = 2081

Границы для σ²

2081/34,17 = 60,9

2081/9,591 = 217

Граница для σ

σ = √60,9 = 7,804 µm

Ответ

σ = 7,804 µm

95 % интервал для σ: [7,804, 14,73] µm.

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,25

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Статистика критерия

t = (200,5 − 200)/0,4 = 1,25

Ответ

t = 1,25

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 540

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((2,326 + 0,842)·11/1,5)² = 539,7

Округлите вверх

n = 540

Ответ

n = 540

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9918

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 126/6 = 21

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 672

Коэффициент детерминации

r² = 216²/(70·672) = 0,9918

Ответ

r² = 0,9918

Прямая объясняет около 99,18% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2,057

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 72/6 = 12

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

Линия регрессии

b = 106/70 = 1,514

a = 12 − 1,514·7 = 1,4

ŷ = 1,4 + 1,514·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 1,4 + 1,514·3 = 5,943

Остаток

e = 8 − 5,943 = 2,057

Ответ

e = 2,057

Точка лежит выше прямой.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income