Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €10 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 1,5 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 5,5 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €10 000g = 1,5%r = 5,5%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €200 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 20 лет. Ставка — 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.
P = €200 0003% / 12N = 240
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €6 000, €7 000, €10 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект стоит €25 000 и приносит €9 000, €17 500, €14 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −25 000CF1 = 9 000CF2 = 17 500CF3 = 14 000
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 2%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 12 лет. Доходность к погашению — 4% годовых. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 2%YTM = 4%n = 12
P = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 8% погашается через 8 лет и продаётся за €895. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 8%n = 8P = €895
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €6 000 000 и долг стоимостью €5 000 000. Стоимость собственного капитала — 12%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.
У компании 5 000 000 акций, торгующихся по €60,00; балансовая стоимость её собственного капитала — €180 000 000. Она только что выплатила дивиденд €2,60 на акцию, дивиденды растут на 4% в год. Рыночная стоимость её долга — €150 000 000, стоимость долга до налогов — 6%. Ставка налога — 30%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 65.
μ = 60σ = 5x = 65
z =
11.ВероятностьСредняя
В мешочке 6 красных и 4 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?
6 / 4
P =
12.ВероятностьСложная
В тесте 5 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,6, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?
n = 5p = 0,6k = 3
P =
13.Нормальное распределениеСредняя
Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 9 из них меньше 711 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9< 711 kg
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,04 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.
отверстие: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 10 элементов имеет среднее 62 и стандартное отклонение s = 14,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.
n = 10x̄ = 62s = 14,590%t(9) = 1,833
нижняя граница =
16.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 10 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 9,5 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 9 2,5 % распределения χ² лежит ниже 2,7 и 2,5 % — выше 19,023.
n = 10s = 9,5 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 100; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 20. Случайная выборка из 100 наблюдений имеет среднее 104,28. Проверьте H₀: μ = 100 против H₁: μ ≠ 100. Найдите p-значение p.
μ₀ = 100σ = 20n = 100x̄ = 104,28H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1,5? Стандартное отклонение — 15. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 15E = 1,595%
n =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (1,5, 23). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 23)
e =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 250000 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Месячная ставка и число платежей
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·20 = 240
Платёж
Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.
(1 + i)−N = 0,5492
A = 200 000·0,0025/(1 − 0,5492) = €1 109,20
Ответ
A = €1 109,20
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = −1945 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 6 000/1,12 = 5 357,14
CF2/(1 + 0,12)2 = 7 000/1,254 = 5 580,36
CF3/(1 + 0,12)3 = 10 000/1,405 = 7 117,80
Сложите
NPV = €−1 944,70
Ответ
NPV = €−1 944,70
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 26,42 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(25%) = 568,00
NPV(30%) = −1 349,57
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €10,00, i = 0,02, N = 24
Приведённая стоимость купонов
€10,00·(1 − 0,6217)/0,02 = €189,14
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,6217 = €621,72
Цена
P = €810,86
Ответ
P = €810,86
Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: YTM = 9,966 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€895 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Численное решение
P(9%) = €944,65, P(10%) = €893,30
YTM = 9,966%
Ответ
YTM = 9,966%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 7,623 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545
WACC
WACC = 0,5455·12% + 0,4545·3%·(1 − 0,21) = 7,623%
Ответ
WACC = 7,623%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 7,071 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (65 − 60)/5 = 1
Ответ
z = 1
11.Вероятность
Ответ: P = 0,3333
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Первое и второе извлечение
P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 0,3333
Ответ
P = 0,3333
12.Вероятность
Ответ: P = 0,3456
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Формула Бернулли
P(X = 3) = 10·0,63·0,42 = 10·0,216·0,16 = 0,3456
Ответ
P = 0,3456
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,06681
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μT = 765 kg, σT = 12·√9 = 36 kg
Стандартизуйте
z = (711 − 765)/36 = −1,5
Вероятность
P = Φ(−1,5) = 0,06681
Ответ
P = 0,06681
14.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,9706
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение разности
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02121 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,04)/0,02121 = −1,89
Вероятность
P = 1 − Φ(−1,89) = 0,9706
Ответ
P = 0,9706
15.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 53,6
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Предельная ошибка
E = 1,833·14,5/√10 = 8,405
Интервал
62 ± 8,405 → [53,6, 70,4]
Ответ
нижняя граница = 53,6
16.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 17,34 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 9·9,5² = 812,3
Границы для σ²
812,3/19,023 = 42,7
812,3/2,7 = 300,8
Граница для σ
σ = √300,8 = 17,34 µm
Ответ
σ = 17,34 µm
95 % интервал для σ: [6,534, 17,34] µm.
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: p = 0,03235
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерия
SE = σ/√n = 20/√100 = 2
z = (104,28 − 100)/2 = 2,14
Площадь хвоста
Φ(2,14) = 0,9838
1 − Φ(2,14) = 0,0162
p-значение
p = 2·0,0162 = 0,03235
Ответ
p = 0,03235
p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 385
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Выразите n
n = (1,96·15/1,5)² = 384,2
Округлите вверх
n = 385
Ответ
n = 385
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9706
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 282/6 = 47
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162
Syy = Σ(y − ȳ)² = 398
Коэффициент корреляции
r = 162/√(70·398) = 0,9706
Ответ
r = 0,9706
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = 3,85
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 74/5 = 14,8
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Линия регрессии
b = −29/10 = −2,9
a = 14,8 − (−2,9)·3 = 23,5
ŷ = 23,5 − 2,9·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 23,5 + (−2,9)·1,5 = 19,15
Остаток
e = 23 − 19,15 = 3,85
Ответ
e = 3,85
Точка лежит выше прямой.
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.