CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €3 000 под номинальную ставку 4 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 8 лет.

PV = €3 0004% / 4n = 8

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Ипотечный кредит €150 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 25 лет под 2,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 15? Найдите остаток долга B.

P = €150 0002,4% / 12N = 300k = 180

B = €

3.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €60 000 сегодня. Он приносит €13 500 в конце каждого года в течение 6 лет, а затем может быть продан за €9 000. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €60 000CF = €13 500S = €9 000n = 6r = 8%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 и приносит €15 500, €25 000, €29 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 10 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 15 500CF₂ = 25 000CF₃ = 29 000

MIRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 7%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 5 лет. Доходность к погашению — 6% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 7%YTM = 6%n = 5

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 6 лет и продаётся за €1 100. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 7%n = 6P = €1 100

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €4 000 000 и долг стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 14%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 30%. Найдите WACC.

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 14%r_d = 3,5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

Бета акций компании равна 1,1 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,5. Компания планирует увеличить это соотношение до 1,25. Ставка налога — 21%, безрисковая ставка — 1%, рыночная премия за риск — 4,5%. Найдите стоимость собственного капитала r_e после изменения.

β_L = 1,1D/E₁ = 0,5D/E₂ = 1,25T = 21%r_f = 1%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 14, 38, 12, 42, 18, 57, 53.

n = 7

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений меньше 86?

μ = 70σ = 8x = 86

P =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,35, 0,2, 0,35

Var(X) =

12.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 1. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,15, 0,25, 0,25Y = 5X + 1

σ_Y =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 171 и 181,85 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x₁ = 171x₂ = 181,85

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 15 элементов имеет среднее 29,5 и стандартное отклонение s = 7,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 15x̄ = 29,5s = 7,590%t(14) = 1,761

нижняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 13 участков, средний урожай 50 kg, стандартное отклонение 3 kg. Группа участков 2: 18 участков, среднее 40 kg, стандартное отклонение 2,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 13x̄₁ = 50s₁ = 3n₂ = 18x̄₂ = 40s₂ = 2,590%t(29) = 1,699

E = kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 124 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 124s = 20n = 36

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ < 100 проводится при α = 0.01 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 25. В действительности среднее равно 91.75. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 100μ = 91,75σ = 25n = 100α = 0,01

β = %

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 15Σy = 192Σx² = 55Σy² = 7410Σxy = 594

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 31,5.

n = 6x = 31,5

ŷ =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 4125 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·8 = 32

Будущая стоимость

FV = 3 000·(1 + 0,01)³² = 3 000·1,375 = €4 124,82

Ответ

FV = €4 124,82

2.Временная стоимость денег

Ответ: B = 70926 €

Ежемесячный платёж

i = 0,002, N = 300

A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻³⁰⁰) = €665,40

Приведённая стоимость оставшихся платежей

Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.

N − k = 300 − 180 = 120

B = 665,4·(1 − (1 + 0,002)⁻¹²⁰)/0,002 = €70 925,74

Ответ

B = €70 925,74

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 8080 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

13 500·4,623 = 62 408,88

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

9 000/1,587 = 5 671,53

NPV

NPV = −60 000 + 62 408,88 + 5 671,53 = €8 080,40

Ответ

NPV = €8 080,40

4.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 14,6 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

15 500·1,1² = 18 755,00

25 000·1,1¹ = 27 500,00

29 000·1,1⁰ = 29 000,00

TV = 75 255,00

MIRR

MIRR = (75 255,00/50 000)^1/3 − 1 = 14,6%

Ответ

MIRR = 14,6%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1043 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €35,00, i = 0,03, N = 10

Приведённая стоимость купонов

€35,00·(1 − 0,7441)/0,03 = €298,56

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,7441 = €744,09

Цена

P = €1 042,65

Ответ

P = €1 042,65

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 5,028 %

Уравнение для доходности

€1 100 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Численное решение

P(5%) = €1 101,51, P(6%) = €1 049,17

YTM = 5,028%

Ответ

YTM = 5,028%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,05 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·14% + 0,4286·3,5%·(1 − 0,3) = 9,05%

Ответ

WACC = 9,05%

8.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 8,052 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета без учёта долга

β_U = 1,1/(1 + 0,79·0,5) = 0,7885

Пересчёт при новом D/E

β_L = 0,7885·(1 + 0,79·1,25) = 1,567

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1% + 1,567·4,5% = 8,052%

Ответ

r_e = 8,052%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 18,74

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 234/7 = 33,43

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−19,43)² + 4,571² + (−21,43)² + 8,571² + (−15,43)² + 23,57² + 19,57² = 2108

Стандартное отклонение

s = √(2108/6) = 18,74

Ответ

s = 18,74

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

11.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,06

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,1 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,35 = 2,8

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,35 = 8,9

Дисперсия

Var(X) = 8,9 − 2,8² = 1,06

Ответ

Var(X) = 1,06

12.Вероятность

Ответ: σ_Y = 6

Разброс X

μ = 2,4, Var(X) = 1,44, σ_X = 1,2

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·1,2 = 6

Ответ

σ_Y = 6

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·2,4 + 1 = 13.

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5502

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (171 − 178)/7 = −1

z₂ = (181,85 − 178)/7 = 0,55

Площадь между

P = Φ(0,55) − Φ(−1) = 0,7088 − 0,1587 = 0,5502

Ответ

P = 0,5502

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 166,5 cm

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Обратно к x

x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm

Ответ

x = 166,49 cm

15.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 26,09

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Предельная ошибка

E = 1,761·7,5/√15 = 3,41

Интервал

29,5 ± 3,41 → [26,09, 32,91]

Ответ

нижняя граница = 26,09

16.Доверительные интервалы

Ответ: E = 1,681 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (12·3² + 17·2,5²)/29 = 7,388

s_p = 2,718

Предельная ошибка

E = 1,699·2,718·√(1/13 + 1/18) = 1,681

Ответ

E = 1,681 kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Статистика критерия

t = (124 − 120)/3,333 = 1,2

Ответ

t = 1,2

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 16,5 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 25/√100 = 2,5

x̄_c = 100 − 2,326·2,5 = 94,19

z при истинном среднем

z = (94,19 − 91,75)/2,5 = 0,974

Ошибка второго рода

мощность = P(Z < 0.974) = 83.5%

β = 100% − 83,5% = 16,5%

Ответ

β = 16,5%

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9333

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 594 − 15·192/5 = 18

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 7410 − 192²/5 = 37,2

Коэффициент корреляции

r = 18/√(10·37,2) = 0,9333

Ответ

r = 0,9333

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 134

Средние

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 645/6 = 107,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 694,5

Линия регрессии

b = 694,5/157,5 = 4,41

a = 107,5 − 4,41·25,5 = −4,943

ŷ = −4,943 + 4,41·x

Прогноз

ŷ = −4,943 + 4,41·31,5 = 134

Ответ

ŷ = 134

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income