Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €20 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 1 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 6 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €20 000g = 1%r = 6%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €25 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 3 лет под 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?
P = €25 0003,6% / 12N = 36
I = €
3.NPV и IRRСредняя
Проект стоит €60 000 сегодня и приносит €13 000, €13 000, €23 000, €18 000, €14 000, €17 000 в конце годов с 1-го по 6-й. Стоимость капитала — 6 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.
Проект стоит €10 000 и приносит €5 500, €6 500 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 6 500
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 11 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 4,5%) при доходности к погашению 5,5%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 6%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.
F = €1 000купон = 4,5%n = 11y0 = 5,5%y1 = 6%
HPR = %
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 4% погашается через 3 лет и продаётся за €1 060. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 4%n = 3P = €1 060
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €12 000 000 и долг стоимостью €1 000 000. Стоимость собственного капитала — 12%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 25%. Найдите WACC.
Рыночная стоимость собственного капитала компании — €15 000 000, стоимость собственного капитала — 10%. Её долг состоит из 5 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 6%, 12 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €959. Ставка налога — 28%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.
Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений меньше 36?
μ = 60σ = 12x = 36
P =
11.ВероятностьСредняя
В мешочке 3 красных и 9 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?
3 / 9
P =
12.ВероятностьСложная
X имеет показанное распределение, а Y = 3X + 5. Найдите стандартное отклонение σY величины Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 3X + 5
σY =
13.Нормальное распределениеСредняя
Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 174,5 и 188,85 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 178σ = 7x1 = 174,5x2 = 188,85
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 5% были слева от неё. Найдите границу x.
μ = 65 балловσ = 10 баллов5%
x = баллов
15.Доверительные интервалыСредняя
У 10 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 3,4 и стандартное отклонение 3,2. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для средней разности.
n = 10d̄ = 3,4sd = 3,290%t(9) = 1,833
нижняя граница = mmHg
16.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 21 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 5,4 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 20 2,5 % распределения χ² лежит ниже 9,591 и 2,5 % — выше 34,17.
n = 21s = 5,4 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 36 студентов имеет средний балл 501,9 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 501,9s = 4n = 36
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 2 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 13. Найдите минимальный объём выборки n.
В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 400000 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Ежемесячный платёж
i = 0,003, N = 36
A = 25 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−36) = €733,66
Всего процентов
I = N·A − P = 36·733,7 − 25 000 = €1 411,74
Ответ
I = €1 411,74
3.NPV и IRR
Ответ: DPB = 4,248 годы
Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.
Дисконтированные и накопленные денежные потоки
год 1: 13 000/1,06 = 12 264,15 → Σ = 12 264,15
год 2: 13 000/1,124 = 11 569,95 → Σ = 23 834,10
год 3: 23 000/1,191 = 19 311,24 → Σ = 43 145,35
год 4: 18 000/1,262 = 14 257,69 → Σ = 57 403,03
год 5: 14 000/1,338 = 10 461,61 → Σ = 67 864,65
Доля последнего года
DPB = 4 + 2 596,97/10 461,61 = 4,248
Ответ
DPB = 4,248 годы
Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,611 лет).
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 12,68 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(10%) = 371,90
NPV(15%) = −302,46
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
IRR ≈ 10 + 5·371,90/(371,90 − (−302,46)) = 12,76%
точно: NPV(12,68%) = 0 → IRR = 12,68%
Ответ
IRR = 12,68%
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: HPR = 1,689 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€1 060 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Численное решение
P(1%) = €1 088,23, P(2%) = €1 057,68
YTM = 1,923%
Ответ
YTM = 1,923%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 11,28 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −2
Таблица нормального распределения
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Ответ
P = 0,02275
11.Вероятность
Ответ: P = 0,04545
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Первое и второе извлечение
P = 3/12 · 2/11 = 6/132 = 0,04545
Ответ
P = 0,04545
12.Вероятность
Ответ: σY = 2,51
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 1, Var(X) = 0,7, σX = 0,8367
Линейное преобразование
σY = |3|·0,8367 = 2,51
Ответ
σY = 2,51
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·1 + 5 = 8.
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,6309
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (174,5 − 178)/7 = −0,5
z₂ = (188,85 − 178)/7 = 1,55
Площадь между
P = Φ(1,55) − Φ(−0,5) = 0,9394 − 0,3085 = 0,6309
Ответ
P = 0,6309
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 48,6 баллов
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,05
z из таблицы
z ≈ −1,64
Возврат к исходным единицам
x = 65 − 1,64·10 = 48,6 баллов
Ответ
x = 48,6 баллов
15.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 1,545 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 9, t = 1,833
Предельная ошибка
E = 1,833·3,2/√10 = 1,855
Интервал
3,4 ± 1,855 → [1,545, 5,255]
Ответ
нижняя граница = 1,545 mmHg
16.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 7,798 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 20·5,4² = 583,2
Границы для σ²
583,2/34,17 = 17,07
583,2/9,591 = 60,81
Граница для σ
σ = √60,81 = 7,798 µm
Ответ
σ = 7,798 µm
95 % интервал для σ: [4,131, 7,798] µm.
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 2,85
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667
Статистика критерия
t = (501,9 − 500)/0,6667 = 2,85
Ответ
t = 2,85
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 425
Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.
Выразите n
n = ((2,326 + 0,842)·13/2)² = 424
Округлите вверх
n = 425
Ответ
n = 425
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9733
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 76/5 = 15,2
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72
Syy = Σ(y − ȳ)² = 136,8
Коэффициент корреляции
r = 72/√(40·136,8) = 0,9733
Ответ
r = 0,9733
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 38,67
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 232/6 = 38,67
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80
Линия регрессии
b = 80/17,5 = 4,571
a = 38,67 − 4,571·3,5 = 22,67
ŷ = 22,67 + 4,571·x
Прогноз
ŷ = 22,67 + 4,571·3,5 = 38,67
Ответ
ŷ = 38,67
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.