CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 6 лет вам нужно €5 000. Счёт даёт 4 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €5 0004% / 12n = 6

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €15 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 6 лет под 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?

P = €15 0003,6% / 12N = 72

I = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €10 000, €11 000, €6 000. Стоимость капитала — 7,000000000000001 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 11 000CF₃ = 6 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €20 000 и приносит €7 500, €7 500, €12 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −20 000CF₁ = 7 500CF₂ = 7 500CF₃ = 12 500

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 7%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 12 лет. Доходность к погашению — 5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 7%YTM = 5%n = 12

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 6% погашается через 3 лет и продаётся за €1 025. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 6%n = 3P = €1 025

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €6 000 000, привилегированными акциями стоимостью €1 500 000 и долгом стоимостью €2 000 000. Стоимость собственного капитала — 9%, стоимость привилегированного капитала — 6,5%, стоимость долга до налогов — 4,5%. Ставка налога — 25%. Найдите WACC.

E = €6 000 000P_s = €1 500 000D = €2 000 000r_e = 9%r_p = 6,5%r_d = 4,5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

Рыночная стоимость собственного капитала компании — €10 000 000, стоимость собственного капитала — 11%. Её долг состоит из 5 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 4%, 11 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €1 045. Ставка налога — 20%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.

E = €10 000 000r_e = 11%облигации: 5 000 × €1 045купон = 4%n = 11T = 20%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 19, 55, 31, 34, 12, 48.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 25. Какая доля P значений меньше 480?

μ = 500σ = 25x = 480

P =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,1, 0,3

Var(X) =

12.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 2X + 20. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,3, 0,3, 0,25Y = 2X + 20

σ_Y =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 50 и 73 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 50x₂ = 73

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 20 % значений (20-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 21 элементов имеет среднее 53,5 и стандартное отклонение s = 4. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 21x̄ = 53,5s = 490%t(20) = 1,725

нижняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 12 участков, средний урожай 51 kg, стандартное отклонение 2,5 kg. Группа участков 2: 10 участков, среднее 46 kg, стандартное отклонение 7,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 12x̄₁ = 51s₁ = 2,5n₂ = 10x̄₂ = 46s₂ = 7,595%t(20) = 2,086

верхняя граница = kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 199,3 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 199,3s = 8n = 100

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1? Стандартное отклонение — 8. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 8E = 195%

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 105Σy = 241Σx² = 2295Σy² = 12659Σxy = 5343

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3,5, 22). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 22)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 3935 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·6 = 72

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,271 = €3 934,71

Ответ

PV = €3 934,71

2.Временная стоимость денег

Ответ: I = 1701 €

Ежемесячный платёж

i = 0,003, N = 72

A = 15 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻⁷²) = €231,95

Всего процентов

I = N·A − P = 72·232 − 15 000 = €1 700,68

Ответ

I = €1 700,68

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −6149 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 10 000/1,07 = 9 345,79

CF₂/(1 + 0,07)² = 11 000/1,145 = 9 607,83

CF₃/(1 + 0,07)³ = 6 000/1,225 = 4 897,79

Сложите

NPV = €−6 148,59

Ответ

NPV = €−6 148,59

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 16,13 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(15%) = 411,77

NPV(20%) = −1 307,87

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 15 + 5·411,77/(411,77 − (−1 307,87)) = 16,2%

точно: NPV(16,13%) = 0 → IRR = 16,13%

Ответ

IRR = 16,13%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1179 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €35,00, i = 0,025, N = 24

Приведённая стоимость купонов

€35,00·(1 − 0,5529)/0,025 = €625,97

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,5529 = €552,88

Цена

P = €1 178,85

Ответ

P = €1 178,85

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 5,081 %

Уравнение для доходности

€1 025 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Численное решение

P(5%) = €1 027,23, P(6%) = €1 000,00

YTM = 5,081%

Ответ

YTM = 5,081%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,421 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = 6 000 000 + 1 500 000 + 2 000 000 = €9 500 000

E/V = 0,6316, P_s/V = 0,1579, D/V = 0,2105

WACC

WACC = 0,6316·9% + 0,1579·6,5% + 0,2105·4,5%·(1 − 0,25) = 7,421%

Ответ

WACC = 7,421%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,186 %

Стоимость долга (YTM)

1045 = 40·(1 − (1 + y)⁻¹¹)/y + 1000/(1 + y)¹¹

y = 3,5%

Рыночные стоимости

D = 5 000·€1 045 = €5 225 000

V = €15 225 000, E/V = 0,6568, D/V = 0,3432

WACC

WACC = 0,6568·11% + 0,3432·3,5%·(1 − 0,2) = 8,186%

Ответ

WACC = 8,186%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 16,44

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 199/6 = 33,17

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−14,17)² + 21,83² + (−2,167)² + 0,8333² + (−21,17)² + 14,83² = 1351

Стандартное отклонение

s = √(1351/5) = 16,44

Ответ

s = 16,44

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,2119

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблица нормального распределения

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Ответ

P = 0,2119

11.Вероятность

Ответ: Var(X) = 5,76

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,1 + 6·0,3 = 2,8

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,1 + 36·0,3 = 13,6

Дисперсия

Var(X) = 13,6 − 2,8² = 5,76

Ответ

Var(X) = 5,76

12.Вероятность

Ответ: σ_Y = 2,027

Разброс X

μ = 2,65, Var(X) = 1,028, σ_X = 1,014

Линейное преобразование

σ_Y = |2|·1,014 = 2,027

Ответ

σ_Y = 2,027

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 2·2,65 + 20 = 25,3.

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7213

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (50 − 65)/10 = −1,5

z₂ = (73 − 65)/10 = 0,8

Площадь между

P = Φ(0,8) − Φ(−1,5) = 0,7881 − 0,06681 = 0,7213

Ответ

P = 0,7213

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 466,3 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Обратно к x

x = 500 + −0,8416·40 = 466,34 h

Ответ

x = 466,34 h

15.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 51,99

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Предельная ошибка

E = 1,725·4/√21 = 1,506

Интервал

53,5 ± 1,506 → [51,99, 55,01]

Ответ

нижняя граница = 51,99

16.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 9,789 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (11·2,5² + 9·7,5²)/20 = 28,75

s_p = 5,362

Предельная ошибка

E = 2,086·5,362·√(1/12 + 1/10) = 4,789

Интервал

5 ± 4,789 → [0,2109, 9,789]

Ответ

верхняя граница = 9,789 kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −0,875

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Статистика критерия

t = (199,3 − 200)/0,8 = −0,875

Ответ

t = −0,875

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 246

Выразите n

n = (1,96·8/1)² = 245,9

Округлите вверх

n = 246

Ответ

n = 246

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9205

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 5343 − 105·241/5 = 282

S_xx = 2295 − 105²/5 = 90

S_yy = 12659 − 241²/5 = 1043

Коэффициент корреляции

r = 282/√(90·1043) = 0,9205

Ответ

r = 0,9205

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 5,5

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 99/6 = 16,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46,5

Линия регрессии

b = −46,5/17,5 = −2,657

a = 16,5 − (−2,657)·3,5 = 25,8

ŷ = 25,8 − 2,657·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 25,8 + (−2,657)·3,5 = 16,5

Остаток

e = 22 − 16,5 = 5,5

Ответ

e = 5,5

Точка лежит выше прямой.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income